Упр.1.64 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

б) Найдите дробь, которую надо сложить с дробью 3/(x+3), чтобы получить 3x^2/(x^3+27).

а) Пусть искомая дробь равна $$x$$. Тогда

$$\frac{c-c^2}{c^3+2c}+x=\frac{1}{c^2+2}.$$

Найдём $$x$$:

$$x=\frac{1}{c^2+2}-\frac{c-c^2}{c^3+2c}.$$

Разложим знаменатель:

$$c^3+2c=c(c^2+2).$$

Тогда

$$x=\frac{1}{c^2+2}-\frac{c-c^2}{c(c^2+2)}=\frac{c-(c-c^2)}{c(c^2+2)}=\frac{c^2}{c(c^2+2)}=\frac{c}{c^2+2}.$$

Проверка:

$$\frac{c-c^2}{c^3+2c}+\frac{c}{c^2+2}=\frac{c-c^2}{c(c^2+2)}+\frac{c^2}{c(c^2+2)}=\frac{c}{c(c^2+2)}=\frac{1}{c^2+2}.$$

б) Пусть искомая дробь равна $$C$$. Тогда

$$\frac{3}{x+3}+C=\frac{3x^2}{x^3+27}.$$

Найдём $$C$$:

$$C=\frac{3x^2}{x^3+27}-\frac{3}{x+3}.$$

Разложим знаменатель:

$$x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9).$$

Тогда

$$C=\frac{3x^2}{(x+3)(x^2-3x+9)}-\frac{3(x^2-3x+9)}{(x+3)(x^2-3x+9)}.$$

$$C=\frac{3x^2-3(x^2-3x+9)}{x^3+27}=\frac{3x^2-3x^2+9x-27}{x^3+27}=\frac{9x-27}{x^3+27}.$$

Ответ: а) $$\frac{c}{c^2+2}$$; б) $$\frac{9x-27}{x^3+27}$$.