Упр.1.63 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение: а) $$\frac{1+x}{1-x}+\frac{1-x}{1+x}-\frac{2x^2}{1-x^2}$$; б) $$\frac{1}{a+b}-\frac{2b}{a^2-b^2}+\frac{1}{a-b}$$; в) $$\frac{y-6}{y^2+3y}-\frac{y-3}{y}+\frac{y}{y+3}$$; г) $$\frac{a(4a-b)}{3a-3b}-\frac{a}{3}-\frac{b^2}{a-b}$$.

1. а)

   $$\frac{1+x}{1-x}+\frac{1-x}{1+x}-\frac{2x^2}{1-x^2}$$
   
   Приведём к общему знаменателю $$1-x^2=(1-x)(1+x)$$:
   $$\frac{(1+x)^2+(1-x)^2-2x^2}{1-x^2}$$
   $$=\frac{1+2x+x^2+1-2x+x^2-2x^2}{1-x^2}=\frac{2}{1-x^2}.$$

2. б)

   $$\frac{1}{a+b}-\frac{2b}{a^2-b^2}+\frac{1}{a-b}$$
   
   Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$, получаем:
   $$\frac{1}{a+b}-\frac{2b}{(a-b)(a+b)}+\frac{1}{a-b}$$
   $$=\frac{a-b-2b+a+b}{a^2-b^2}=\frac{2a-2b}{a^2-b^2}$$
   $$=\frac{2(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{2}{a+b}.$$

3. в)

   $$\frac{y-6}{y^2+3y}-\frac{y-3}{y}+\frac{y}{y+3}$$
   
   Заметим, что $$y^2+3y=y(y+3)$$:
   $$\frac{y-6}{y(y+3)}-\frac{y-3}{y}+\frac{y}{y+3}$$
   $$=\frac{y-6-(y-3)(y+3)+y^2}{y(y+3)}$$
   $$=\frac{y-6-(y^2-9)+y^2}{y(y+3)}=\frac{y+3}{y(y+3)}=\frac{1}{y}.$$

4. г)

   $$\frac{a(4a-b)}{3a-3b}-\frac{a}{3}-\frac{b^2}{a-b}$$
   
   Так как $$3a-3b=3(a-b)$$, имеем:
   $$\frac{a(4a-b)}{3(a-b)}-\frac{a}{3}-\frac{b^2}{a-b}$$
   $$=\frac{a(4a-b)-a(a-b)-3b^2}{3(a-b)}$$
   $$=\frac{4a^2-ab-a^2+ab-3b^2}{3(a-b)}$$
   $$=\frac{3a^2-3b^2}{3(a-b)}$$
   $$=\frac{3(a-b)(a+b)}{3(a-b)}=a+b.$$

Ответ

а) $$\frac{2}{1-x^2}$$; б) $$\frac{2}{a+b}$$; в) $$\frac{1}{y}$$; г) $$a+b$$.