Упр.1.51 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)
а) 1/(a-b) и 1/(a+b);
б) (a+1)/(a-1) и (a-1)/(a+1);
в) (p-q)/(p+q) и (p+q)/(p-q);
г) m/(m+4) и m/(m-4).
Приведём дроби к общему знаменателю и выполним сложение и вычитание.
а)
$$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a+b}=\frac{a+b}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{(a-b)(a+b)}$$
$$=\frac{a+b+a-b}{a^2-b^2}=\frac{2a}{a^2-b^2}.$$$$\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a+b}=\frac{a+b}{(a-b)(a+b)}-\frac{a-b}{(a-b)(a+b)}$$
$$=\frac{a+b-a+b}{a^2-b^2}=\frac{2b}{a^2-b^2}.$$б)
$$\frac{a+1}{a-1}+\frac{a-1}{a+1}=\frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)}+\frac{(a-1)^2}{(a-1)(a+1)}$$
$$=\frac{(a+1)^2+(a-1)^2}{a^2-1}=\frac{a^2+2a+1+a^2-2a+1}{a^2-1}=\frac{2a^2+2}{a^2-1}.$$$$\frac{a+1}{a-1}-\frac{a-1}{a+1}=\frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)}-\frac{(a-1)^2}{(a-1)(a+1)}$$
$$=\frac{(a+1)^2-(a-1)^2}{a^2-1}=\frac{a^2+2a+1-a^2+2a-1}{a^2-1}=\frac{4a}{a^2-1}.$$в)
$$\frac{p-q}{p+q}+\frac{p+q}{p-q}=\frac{(p-q)^2}{(p+q)(p-q)}+\frac{(p+q)^2}{(p+q)(p-q)}$$
$$=\frac{(p-q)^2+(p+q)^2}{p^2-q^2}=\frac{p^2-2pq+q^2+p^2+2pq+q^2}{p^2-q^2}=\frac{2p^2+2q^2}{p^2-q^2}.$$$$\frac{p-q}{p+q}-\frac{p+q}{p-q}=\frac{(p-q)^2}{(p+q)(p-q)}-\frac{(p+q)^2}{(p+q)(p-q)}$$
$$=\frac{(p-q)^2-(p+q)^2}{p^2-q^2}=\frac{p^2-2pq+q^2-p^2-2pq-q^2}{p^2-q^2}=\frac{-4pq}{p^2-q^2}.$$г)
$$\frac{m}{m+4}+\frac{m}{m-4}=\frac{m(m-4)}{(m+4)(m-4)}+\frac{m(m+4)}{(m+4)(m-4)}$$
$$=\frac{m(m-4)+m(m+4)}{m^2-16}=\frac{m^2-4m+m^2+4m}{m^2-16}=\frac{2m^2}{m^2-16}.$$$$\frac{m}{m+4}-\frac{m}{m-4}=\frac{m(m-4)}{(m+4)(m-4)}-\frac{m(m+4)}{(m+4)(m-4)}$$
$$=\frac{m(m-4)-m(m+4)}{m^2-16}=\frac{m^2-4m-m^2-4m}{m^2-16}=\frac{-8m}{m^2-16}.$$
Ответ
а) $$\frac{2a}{a^2-b^2}$$ и $$\frac{2b}{a^2-b^2}$$;
б) $$\frac{2a^2+2}{a^2-1}$$ и $$\frac{4a}{a^2-1}$$;
в) $$\frac{2p^2+2q^2}{p^2-q^2}$$ и $$\frac{-4pq}{p^2-q^2}$$;
г) $$\frac{2m^2}{m^2-16}$$ и $$\frac{-8m}{m^2-16}$$.
