Упр.1.43 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Задача

Учащиеся выполняли задания на сокращение дробей. Ниже показано, как начали преобразования Андрей (А) и Борис (Б). Правильно ли сделал первые шаги каждый из учащихся? Если нет, то исправьте ошибку. Доведите каждое решение до конца.

А) $$\frac{(2a-2b)^2}{8b-8a}=\frac{2(a-b)^2}{8(b-a)}=?$$

Б) $$\frac{4m^2-4n^2}{(4n-4m)^2}=\frac{4(m^2-n^2)}{16(n-m)^2}=-\frac{(m-n)(m+n)}{4(m-n)^2}=?$$

Подробный ответ

А) У Андрея ошибка в первом преобразовании: нельзя сокращать выражение в числителе и знаменателе по частям, не раскладывая числитель полностью.

$$\frac{(2a-2b)^2}{8b-8a} = \frac{[2(a-b)]^2}{8(b-a)} = \frac{4(a-b)^2}{8(b-a)} = \frac{(a-b)^2}{2(b-a)}$$
Так как $$b-a=-(a-b),$$ то
$$\frac{(a-b)^2}{2(b-a)}=-\frac{a-b}{2}=\frac{b-a}{2}.$$

Б) У Бориса тоже ошибка в первом преобразовании: при возведении в квадрат знаменателя нужно учитывать, что

$$(4n-4m)^2=16(n-m)^2.$$
Тогда
$$\frac{4m^2-4n^2}{(4n-4m)^2} = \frac{4(m^2-n^2)}{16(n-m)^2} = \frac{(m-n)(m+n)}{4(n-m)^2}.$$
Но $$n-m=-(m-n),$$ поэтому
$$\frac{(m-n)(m+n)}{4(n-m)^2} = \frac{(m-n)(m+n)}{4(m-n)^2} = \frac{m+n}{4(m-n)}.$$