Упр.1.197 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

1. При каких натуральных значениях $$n$$ можно сократить дробь: а) $$\frac{3n+1}{10}$$; б) $$\frac{5n+3}{4}$$; в) $$\frac{4n+2}{5}$$.

Проверим, когда числитель делится на знаменатель.

1. $$\frac{3n+1}{10}$$

   Пусть $$n=10k+r$$, где $$r=0,1,2,\dots,9$$. Тогда

   $$\frac{3n+1}{10}=\frac{3(10k+r)+1}{10}=\frac{30k+3r+1}{10}=3k+\frac{3r+1}{10}.$$

   Чтобы дробь сокращалась, нужно, чтобы $$3r+1$$ делилось на $$10$$. При $$r=0,1,2,\dots,9$$ это выполняется только при $$r=3$$, так как $$3\cdot 3+1=10$$.

   Значит, $$n=10k+3$$.

2. $$\frac{5n+3}{4}$$

   Пусть $$n=4k+r$$, где $$r=0,1,2,3$$. Тогда

   $$\frac{5n+3}{4}=\frac{5(4k+r)+3}{4}=\frac{20k+5r+3}{4}=5k+\frac{5r+3}{4}.$$

   Нужно, чтобы $$5r+3$$ делилось на $$4$$. Проверим значения $$r$$:

   при $$r=1$$: $$5\cdot 1+3=8$$, делится на $$4$$;

   при $$r=3$$: $$5\cdot 3+3=18$$, делится на $$4$$.

   Значит, $$n=4k+1$$ или $$n=4k+3$$, то есть все нечётные натуральные числа.

3. $$\frac{4n+2}{5}$$

   Пусть $$n=5k+r$$, где $$r=0,1,2,3,4$$. Тогда

   $$\frac{4n+2}{5}=\frac{4(5k+r)+2}{5}=\frac{20k+4r+2}{5}=4k+\frac{4r+2}{5}.$$

   Нужно, чтобы $$4r+2$$ делилось на $$5$$. Проверим значения $$r$$:

   при $$r=2$$: $$4\cdot 2+2=10$$, делится на $$5$$.

   Значит, $$n=5k+2$$.

Ответ

а) $$n=10k+3$$; б) $$n=2k+1$$; в) $$n=5k+2$$, где $$k=0,1,2,\dots$$.