Упр.1.196 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

1. При каких натуральных значениях $$n$$ можно сократить дробь: а) $$\frac{2n+1}{n-1}$$; б) $$\frac{4n+3}{3n-1}$$.

а) Дробь $$\frac{2n+1}{n-1}$$ можно сократить, если числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1.

Найдём их общий делитель по разности:

$$(2n+1)-(n-1)=n+2$$

Тогда общий делитель чисел $$2n+1$$ и $$n-1$$ такой же, как у чисел $$n+2$$ и $$n-1$$. Их разность:

$$(n+2)-(n-1)=3$$

Значит, общий делитель может быть только равен $$3$$. Следовательно, оба числа должны делиться на $$3$$.

$$n-1 \equiv 0 \pmod 3 \quad \Rightarrow \quad n \equiv 1 \pmod 3$$

То есть

$$n=3k+1,\quad k=1,2,3,\ldots$$

б) Рассмотрим дробь $$\frac{4n+3}{3n-1}$$.

Найдём общий делитель числителя и знаменателя:

$$(4n+3)-(3n-1)=n+4$$

Теперь сравним $$3n-1$$ и $$n+4$$:

$$(3n-1)-(n+4)=2n-5$$

Сравним $$2n-5$$ и $$n+4$$:

$$(2n-5)-(n+4)=n-9$$

Сравним $$n-9$$ и $$n+4$$:

$$(n+4)-(n-9)=13$$

Так как $$13$$ — простое число, общий делитель, отличный от $$1$$, может быть только $$13$$. Значит, оба числа должны делиться на $$13$$.

$$n+4 \equiv 0 \pmod{13} \quad \Rightarrow \quad n \equiv -4 \equiv 9 \pmod{13}$$

То есть

$$n=13k-4,\quad k=1,2,3,\ldots$$

Ответ

а) $$n=3k+1,\ k=1,2,3,\ldots$$;
б) $$n=13k-4,\ k=1,2,3,\ldots$$.