Упр.1.196 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

а) (2n+1)/(n-1);
б) (4n+3)/(3n-1).

а) Дробь $$\frac{2n+1}{n-1}$$ можно сократить, если числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1.

Найдём их общий делитель по разности:

$$ (2n+1)-(n-1)=n+2 $$

Тогда общий делитель чисел $$2n+1$$ и $$n-1$$ такой же, как у чисел $$n+2$$ и $$n-1$$. Их разность:

$$ (n+2)-(n-1)=3 $$

Значит, общий делитель может быть только равен $$3$$. Следовательно, оба числа должны делиться на $$3$$.

$$ n-1 \equiv 0 \pmod 3 \quad \Rightarrow \quad n \equiv 1 \pmod 3 $$

То есть

$$ n=3k+1,\quad k=1,2,3,\ldots $$

б) Рассмотрим дробь $$\frac{4n+3}{3n-1}$$.

Найдём общий делитель числителя и знаменателя:

$$ (4n+3)-(3n-1)=n+4 $$

Теперь сравним $$3n-1$$ и $$n+4$$:

$$ (3n-1)-(n+4)=2n-5 $$

Сравним $$2n-5$$ и $$n+4$$:

$$ (2n-5)-(n+4)=n-9 $$

Сравним $$n-9$$ и $$n+4$$:

$$ (n+4)-(n-9)=13 $$

Так как $$13$$ — простое число, общий делитель, отличный от $$1$$, может быть только $$13$$. Значит, оба числа должны делиться на $$13$$.

$$ n+4 \equiv 0 \pmod{13} \quad \Rightarrow \quad n \equiv -4 \equiv 9 \pmod{13} $$

То есть

$$ n=13k-4,\quad k=1,2,3,\ldots $$

Ответ

а) $$n=3k+1,\ k=1,2,3,\ldots$$;
б) $$n=13k-4,\ k=1,2,3,\ldots$$.