Упр.1.19 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

2) Выражение с двумя переменными, например x и y, называют симметрическим, если оно не меняется при подстановке y вместо x и x вместо y. Какие из следующих выражений являются симметрическими: x^3+y^3, x^2-y^2 , x(x+y), xy(x+y), (x^2+y^2)/y, (x-y)^2/xy, (x+y)^2-2xy?
3) Придумайте примеры симметрических выражений.

1. Вычислим значение выражения $$\frac{x^2+y^2}{xy}$$ при $$x=-2$$, $$y=5$$:

   $$\frac{(-2)^2+5^2}{(-2)\cdot 5}=\frac{4+25}{-10}=\frac{29}{-10}=-2{,}9.$$

   Теперь подставим $$x=5$$, $$y=-2$$:

   $$\frac{5^2+(-2)^2}{5\cdot(-2)}=\frac{25+4}{-10}=\frac{29}{-10}=-2{,}9.$$

   Значение выражения не изменится. Это подтверждается и заменой переменных:

   $$\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{y^2+x^2}{yx}.$$

2. Проверим, какие выражения не меняются при замене $$x$$ на $$y$$ и $$y$$ на $$x$$:

   • $$x^3+y^3$$ — симметрическое;
   • $$x^2-y^2$$ — не симметрическое;
   • $$x(x+y)$$ — не симметрическое;
   • $$xy(x+y)$$ — симметрическое;
   • $$\frac{x^2+y^2}{y}$$ — не симметрическое;
   • $$\frac{(x-y)^2}{xy}$$ — симметрическое;
   • $$(x+y)^2-2xy$$ — симметрическое.

3. Примеры симметрических выражений:

   $$x+y,\quad x^2+y^2,\quad xy,\quad \frac{x+y}{xy},\quad (x-y)^2.$$

Ответ

1) $$\frac{x^2+y^2}{xy}=-2{,}9$$ при обоих наборах значений, выражение не изменяется.

2) Симметрические выражения: $$x^3+y^3,\; xy(x+y),\; \frac{(x-y)^2}{xy},\; (x+y)^2-2xy.$$

3) Например: $$x+y,\; x^2+y^2,\; xy,\; \frac{x+y}{xy}.$$