Упр.1.16 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 8 класс, Просвещение: Выясните, имеет ли смысл выражение (x-1+1/x)/(x-1/x) при x=0; x=1; x=-1; x=1/2. Если имеет, то найдите его значение.

Подробный ответ

Рассмотрим выражение $$\frac{x-1+\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}}.$$

Оно имеет смысл, если знаменатель не равен нулю и $$x \ne 0$$, так как в выражении есть дробь $$\frac{1}{x}.$$

Найдём, при каких значениях $$x$$ знаменатель равен нулю:

$$x-\frac{1}{x}=0$$

$$x^2-1=0$$

$$x^2=1$$

$$x=\pm 1.$$

Значит, выражение имеет смысл при всех $$x \ne 0$$ и $$x \ne \pm 1.$$

Проверим данные значения:

при $$x=0$$ выражение не имеет смысла;
при $$x=1$$ выражение не имеет смысла;
при $$x=-1$$ выражение не имеет смысла;
при $$x=\frac{1}{2}$$ выражение имеет смысл.

Вычислим его значение при $$x=\frac{1}{2}$$:

$$\frac{\frac{1}{2}-1+\frac{1}{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{\frac{1}{2}}} =\frac{\frac{1}{2}-1+2}{\frac{1}{2}-2} =\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{3}{2}} =-1.$$