Упр.1.105 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

а) 1/(2•4)=1/2•(1/2-1/4);
б) 1/(4•6)=1/2•(1/4-1/6);
в) 1/(3•5)=1/2•(1/3-1/5);
г) 1/(5•7)=1/2•(1/5-1/7).
Составьте еще несколько таких же равенств. Запишите соответствующее буквенное равенство и докажите его.
2) Примените доказанное равенство для упрощения выражений:
а) 1/(3•5)+1/(5•7)+1/(7•9)+?+1/(23•25);
б) 1/a(a+2) +1/(a+2)(a+4) +?+1/(a+98)(a+100) .
Упростите эти выражения другим способом, последовательно складывая дроби. Совпали ли ваши результаты?

1) Проверим равенства:

$$ \frac{1}{2\cdot 4}=\frac12\left(\frac12-\frac14\right)=\frac12\cdot\frac14=\frac18=\frac{1}{2\cdot 4} $$
$$ \frac{1}{4\cdot 6}=\frac12\left(\frac14-\frac16\right)=\frac12\cdot\frac{1}{12}=\frac{1}{24}=\frac{1}{4\cdot 6} $$
$$ \frac{1}{3\cdot 5}=\frac12\left(\frac13-\frac15\right)=\frac12\cdot\frac{2}{15}=\frac{1}{15}=\frac{1}{3\cdot 5} $$
$$ \frac{1}{5\cdot 7}=\frac12\left(\frac15-\frac17\right)=\frac12\cdot\frac{2}{35}=\frac{1}{35}=\frac{1}{5\cdot 7} $$

Общее буквенное равенство:

$$ \frac{1}{n(n+2)}=\frac12\left(\frac1n-\frac1{n+2}\right) $$

Докажем его:

$$ \frac12\left(\frac1n-\frac1{n+2}\right) =\frac12\cdot\frac{n+2-n}{n(n+2)} =\frac12\cdot\frac{2}{n(n+2)} =\frac{1}{n(n+2)} $$

2) Применим это равенство.

а)

$$ \frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 9}+\cdots+\frac{1}{23\cdot 25} $$
$$ =\frac12\left(\frac13-\frac15\right)+\frac12\left(\frac15-\frac17\right)+\frac12\left(\frac17-\frac19\right)+\cdots+\frac12\left(\frac1{23}-\frac1{25}\right) $$
$$ =\frac12\left(\frac13-\frac1{25}\right) =\frac12\cdot\frac{25-3}{75} =\frac12\cdot\frac{22}{75} =\frac{11}{75} $$

б)

$$ \frac{1}{a(a+2)}+\frac{1}{(a+2)(a+4)}+\cdots+\frac{1}{(a+98)(a+100)} $$
$$ =\frac12\left(\frac1a-\frac1{a+2}\right)+\frac12\left(\frac1{a+2}-\frac1{a+4}\right)+\cdots+\frac12\left(\frac1{a+98}-\frac1{a+100}\right) $$
$$ =\frac12\left(\frac1a-\frac1{a+100}\right) =\frac12\cdot\frac{100}{a(a+100)} =\frac{50}{a(a+100)} $$

Если складывать дроби последовательно, получится тот же результат: в сумме сокращаются все промежуточные слагаемые, и остаются только первое и последнее.

Ответ

$$ \frac{1}{n(n+2)}=\frac12\left(\frac1n-\frac1{n+2}\right) $$
$$ \frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\cdots+\frac{1}{23\cdot 25}=\frac{11}{75} $$
$$ \frac{1}{a(a+2)}+\frac{1}{(a+2)(a+4)}+\cdots+\frac{1}{(a+98)(a+100)}=\frac{50}{a(a+100)} $$