Упр.1.105 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)
- Проверьте равенства:
а) $$\frac{1}{2\cdot4}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)$$;
б) $$\frac{1}{4\cdot6}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)$$;
в) $$\frac{1}{3\cdot5}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)$$;
г) $$\frac{1}{5\cdot7}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)$$.
Составьте ещё несколько таких же равенств. Запишите соответствующее буквенное равенство и докажите его. - Примените доказанное равенство для упрощения выражений:
а) $$\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+\frac{1}{7\cdot9}+\ldots+\frac{1}{23\cdot25}$$;
б) $$\frac{1}{a(a+2)}+\frac{1}{(a+2)(a+4)}+\ldots+\frac{1}{(a+98)(a+100)}$$.
Упростите эти выражения другим способом, последовательно складывая дроби. Совпали ли ваши результаты?
1) Проверим равенства:
$$\frac{1}{2\cdot 4}=\frac12\left(\frac12-\frac14\right)=\frac12\cdot\frac14=\frac18=\frac{1}{2\cdot 4}$$
$$\frac{1}{4\cdot 6}=\frac12\left(\frac14-\frac16\right)=\frac12\cdot\frac{1}{12}=\frac{1}{24}=\frac{1}{4\cdot 6}$$
$$\frac{1}{3\cdot 5}=\frac12\left(\frac13-\frac15\right)=\frac12\cdot\frac{2}{15}=\frac{1}{15}=\frac{1}{3\cdot 5}$$
$$\frac{1}{5\cdot 7}=\frac12\left(\frac15-\frac17\right)=\frac12\cdot\frac{2}{35}=\frac{1}{35}=\frac{1}{5\cdot 7}$$
Общее буквенное равенство:
$$\frac{1}{n(n+2)}=\frac12\left(\frac1n-\frac1{n+2}\right)$$
Докажем его:
$$\frac12\left(\frac1n-\frac1{n+2}\right) =\frac12\cdot\frac{n+2-n}{n(n+2)} =\frac12\cdot\frac{2}{n(n+2)} =\frac{1}{n(n+2)}$$
2) Применим это равенство.
а)
$$\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 9}+\cdots+\frac{1}{23\cdot 25}$$
$$=\frac12\left(\frac13-\frac15\right)+\frac12\left(\frac15-\frac17\right)+\frac12\left(\frac17-\frac19\right)+\cdots+\frac12\left(\frac1{23}-\frac1{25}\right)$$
$$=\frac12\left(\frac13-\frac1{25}\right) =\frac12\cdot\frac{25-3}{75} =\frac12\cdot\frac{22}{75} =\frac{11}{75}$$
б)
$$\frac{1}{a(a+2)}+\frac{1}{(a+2)(a+4)}+\cdots+\frac{1}{(a+98)(a+100)}$$
$$=\frac12\left(\frac1a-\frac1{a+2}\right)+\frac12\left(\frac1{a+2}-\frac1{a+4}\right)+\cdots+\frac12\left(\frac1{a+98}-\frac1{a+100}\right)$$
$$=\frac12\left(\frac1a-\frac1{a+100}\right) =\frac12\cdot\frac{100}{a(a+100)} =\frac{50}{a(a+100)}$$
Если складывать дроби последовательно, получится тот же результат: в сумме сокращаются все промежуточные слагаемые, и остаются только первое и последнее.
Ответ
$$\frac{1}{n(n+2)}=\frac12\left(\frac1n-\frac1{n+2}\right)$$
$$\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\cdots+\frac{1}{23\cdot 25}=\frac{11}{75}$$
$$\frac{1}{a(a+2)}+\frac{1}{(a+2)(a+4)}+\cdots+\frac{1}{(a+98)(a+100)}=\frac{50}{a(a+100)}$$
