Упр.1.104 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

а) Дано: x+1/x=y.Выразите x^2+1/x^2 через y.
б) Дано: x-1/x=y.Выразите x^2+1/x^2 через y.

1. а) Пусть $$x+\frac{1}{x}=y$$. Возведём обе части в квадрат:

   $$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2+2+\frac{1}{x^2}.$$

   Тогда

   $$x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2=y^2-2.$$

2. б) Пусть $$x-\frac{1}{x}=y$$. Возведём обе части в квадрат:

   $$\left(x-\frac{1}{x}\right)^2=x^2-2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2-2+\frac{1}{x^2}.$$

   Тогда

   $$x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2=y^2+2.$$

Ответ

а) $$x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$$; б) $$x^2+\frac{1}{x^2}=y^2+2$$.