Упр.1.103 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Задача

а) (1-z-2z/(z-1)) :(1/z+z)•(1/z-1/z^3 );
б) (a-5+(a^2+7)/(a+5))•(a/(a-3)-a/(a+3)) :6a/(25-a^2 );
в) (a^3-b^3)/(2a+2b)•((a+b)/(a-b)+(a-b)/(a+b)) :(a^2+ab+b^2)/(a+b)^2 ;
г) 1/(x+y)+(x^2+y^2-xy)/(y^2-x^2 )•(xy-y^2)/(x^3+y^3 )-1/(x+y)^2 .

Подробный ответ

а)
$$\left(1-z-\frac{2z}{z-1}\right):\left(\frac{1}{z}+z\right)\cdot\left(1-\frac{1}{z^3}\right)$$
$$1-z-\frac{2z}{z-1}=\frac{(1-z)(z-1)-2z}{z-1}=\frac{-1+2z-z^2-2z}{z-1}=-\frac{z^2+1}{z-1}$$
$$\frac{1}{z}+z=\frac{1+z^2}{z}, \qquad 1-\frac{1}{z^3}=\frac{z^3-1}{z^3}=\frac{(z-1)(z^2+z+1)}{z^3}$$
Тогда
$$\left(-\frac{z^2+1}{z-1}\right):\frac{1+z^2}{z}\cdot\frac{z^3-1}{z^3} =-\frac{z^2+1}{z-1}\cdot\frac{z}{1+z^2}\cdot\frac{z^3-1}{z^3}$$
После сокращения получаем
$$-\frac{z+1}{z^2}$$
б)
$$\left(a-5+\frac{a^2+7}{a+5}\right)\cdot\left(\frac{a}{a-3}-\frac{a}{a+3}\right):\frac{6a}{25-a^2}$$
$$a-5+\frac{a^2+7}{a+5}=\frac{(a-5)(a+5)+a^2+7}{a+5}=\frac{a^2-25+a^2+7}{a+5}=\frac{2a^2-18}{a+5}=\frac{2(a^2-9)}{a+5}$$
$$\frac{a}{a-3}-\frac{a}{a+3}=\frac{a(a+3)-a(a-3)}{(a-3)(a+3)}=\frac{6a}{a^2-9}$$
Тогда
$$\frac{2(a^2-9)}{a+5}\cdot\frac{6a}{a^2-9}\cdot\frac{25-a^2}{6a} =\frac{2(25-a^2)}{a+5}$$
$$25-a^2=(5-a)(5+a)$$
Поэтому
$$\frac{2(5-a)(5+a)}{a+5}=2(5-a)=10-2a$$
в)
$$\frac{a^3-b^3}{2a+2b}\cdot\left(\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}\right):\frac{a^2+ab+b^2}{(a+b)^2}$$
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2), \qquad 2a+2b=2(a+b)$$
$$\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b} =\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{(a-b)(a+b)} =\frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2}$$
Подставим и сократим:
$$\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{2(a+b)}\cdot\frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2}\cdot\frac{(a+b)^2}{a^2+ab+b^2}$$
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$
Тогда
$$a^2+b^2$$
г)
$$\frac{1}{x+y}+\frac{x^2+y^2-xy}{y^2-x^2}\cdot\frac{xy-y^2}{x^3+y^3}-\frac{1}{(x+y)^2}$$
$$y^2-x^2=(y-x)(y+x), \qquad xy-y^2=y(x-y), \qquad x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$$
Тогда
$$\frac{x^2+y^2-xy}{y^2-x^2}\cdot\frac{xy-y^2}{x^3+y^3} =\frac{x^2-xy+y^2}{(y-x)(y+x)}\cdot\frac{y(x-y)}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} =-\frac{y}{(x+y)^2}$$
Следовательно,
$$\frac{1}{x+y}-\frac{y}{(x+y)^2}-\frac{1}{(x+y)^2} =\frac{x+y-y-1}{(x+y)^2} =\frac{x-1}{(x+y)^2}$$