Упр.1.102 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Задача

а) (b^2/(a^3-ab^2 )-b/(a^2-ab))•(a/(b^2+ab)-1/(a+b)) отрицательны;
б) (x^3-y^3)/(2x+2y)•(x+y)^2/(x^2+xy+y^2 ) :((x+y)/(x-y)+(x-y)/(x+y)) неотрицательны.

Подробный ответ

а) Упростим выражение:

$$ \left(\frac{b^2}{a^3-ab^2}-\frac{b}{a^2-ab}\right)\cdot\left(\frac{a}{b^2+ab}-\frac{1}{a+b}\right) $$
$$ =\left(\frac{b^2}{a(a^2-b^2)}-\frac{b}{a(a-b)}\right)\cdot\left(\frac{a}{b(a+b)}-\frac{1}{a+b}\right) $$
$$ =\left(\frac{b^2-b(a+b)}{a(a^2-b^2)}\right)\cdot\left(\frac{a-b}{b(a+b)}\right) $$
$$ =\left(\frac{-b(a-b)}{a(a-b)(a+b)}\right)\cdot\left(\frac{a-b}{b(a+b)}\right) =-\frac{1}{(a+b)^2}. $$

Так как $$ (a+b)^2>0 $$ при всех допустимых значениях переменных, то

$$ -\frac{1}{(a+b)^2}<0. $$
Следовательно, выражение отрицательно.

б) Упростим выражение:

$$ \frac{x^3-y^3}{2x+2y}\cdot\frac{(x+y)^2}{x^2+xy+y^2}:\left(\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y}\right) $$
$$ =\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{2(x+y)}\cdot\frac{(x+y)^2}{x^2+xy+y^2}:\frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} $$
$$ =\frac{(x-y)(x+y)}{2}\cdot\frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)^2+(x-y)^2} $$
$$ =\frac{(x^2-y^2)^2}{2\bigl((x+y)^2+(x-y)^2\bigr)}. $$

Так как

$$ (x+y)^2+(x-y)^2=2x^2+2y^2=2(x^2+y^2), $$
то

$$ \frac{(x^2-y^2)^2}{2\bigl((x+y)^2+(x-y)^2\bigr)} =\frac{(x^2-y^2)^2}{4(x^2+y^2)}\ge 0. $$

Следовательно, выражение неотрицательно при всех допустимых значениях переменных.