Упр.1.101 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что значение выражения не зависит от значений переменных:

а) $$\frac{16b^2-a^2}{4b}\cdot\left(\frac{a+4b}{a^2-4ab}-\frac{a-4b}{a^2+4ab}\right)$$;

б) $$\frac{3y}{9y^2-x^2}:\left(\frac{x-3y}{x^2+3xy}+\frac{x+3y}{3xy-x^2}\right)$$.

Подробный ответ

а) Преобразуем выражение:

$$\frac{16b^2-a^2}{4b}\cdot\left(\frac{a+4b}{a^2-4ab}-\frac{a-4b}{a^2+4ab}\right)$$
$$=\frac{16b^2-a^2}{4b}\cdot\left(\frac{a+4b}{a(a-4b)}-\frac{a-4b}{a(a+4b)}\right)$$
$$=\frac{16b^2-a^2}{4b}\cdot \frac{(a+4b)^2-(a-4b)^2}{a(a-4b)(a+4b)}$$
$$=\frac{16b^2-a^2}{4b}\cdot \frac{16ab}{a(a^2-16b^2)}$$
$$=\frac{16b^2-a^2}{4b}\cdot \frac{-16ab}{a(16b^2-a^2)} =-4.$$

Значение выражения не зависит от значений переменных.

б) Упростим выражение:

$$\frac{3y}{9y^2-x^2}:\left(\frac{x-3y}{x^2+3xy}+\frac{x+3y}{3xy-x^2}\right)$$
$$=\frac{3y}{9y^2-x^2}:\left(\frac{x-3y}{x(x+3y)}+\frac{x+3y}{x(3y-x)}\right)$$
$$=\frac{3y}{9y^2-x^2}:\frac{(x-3y)(3y-x)+(x+3y)^2}{x(x+3y)(3y-x)}$$
$$=\frac{3y}{9y^2-x^2}:\frac{-(x-3y)^2+(x+3y)^2}{x(x+3y)(3y-x)}$$
$$=\frac{3y}{9y^2-x^2}:\frac{12xy}{x(9y^2-x^2)}$$
$$=\frac{3y}{9y^2-x^2}\cdot\frac{x(9y^2-x^2)}{12xy} =\frac14.$$

Значение выражения не зависит от значений переменных.