Ответы на вопросы на стр.93 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

2. Производится серия испытаний Бернулли. Выберите верное утверждение:
а) чем больше вероятность успеха, тем больше математическое ожидание числа неудач;
б) чем больше вероятность успеха, тем меньше математическое ожидание числа неудач;
в) среднее число успехов зависит только от числа экспериментов и не связано с вероятностью успеха.
3. Запишите формулы для математического ожидания и дисперсии случайных величин «число успехов» и «частота успеха» в серии из n испытаний Бернулли с вероятностью успеха р.
4. Проводятся две серии испытаний Бернулли длины n. Вероятность успеха в первой серии равна 0,2, а во второй вероятность успеха равна 0,8. Не производя вычислений, сравните:
а) математические ожидания числа успехов в первой серии и во второй серии;
б) дисперсии числа успехов в первой серии и во второй серии.
5. Число испытаний n увеличивается. Как себя ведёт при этом:
а) математическое ожидание числа успехов;
б) математическое ожидание числа неудач;
в) дисперсия числа успехов;
г) математическое ожидание частоты успеха;
д) стандартное отклонение частоты успеха?
6. Верно ли, что в серии испытаний Бернулли дисперсия числа успехов равна дисперсии числа неудач?

1. Математическое ожидание числа успехов в серии из $$n$$ испытаний Бернулли с вероятностью успеха $$p$$ равно

   $$ES=np.$$

   При $$n=20$$ и $$p=0{,}5$$ получаем

   $$ES=20\cdot 0{,}5=10.$$

   Если при 20 подбрасываниях монеты выпало 7 орлов, то число успехов не совпало с ожидаемым значением, но отличается от него не сильно.

2. Число неудач равно $$n-S$$, поэтому его математическое ожидание равно $$n(1-p)$$. Чем больше вероятность успеха $$p$$, тем меньше вероятность неудачи $$1-p$$, а значит, меньше математическое ожидание числа неудач.

   Верно утверждение б).

3. Для серии из $$n$$ испытаний Бернулли с вероятностью успеха $$p$$:

   $$ES=np,$$

   $$DS=npq,$$

   где $$q=1-p.$$

   Для частоты успеха $$F=\dfrac{S}{n}$$:

   $$EF=p,$$

   $$DF=\dfrac{pq}{n},$$

   а стандартное отклонение частоты успеха равно

   $$\sigma_F=\sqrt{\dfrac{pq}{n}}.$$

4. а) Так как $$n$$ одинаково, а $$p_1=0{,}2<0{,}8=p_2$$, то

   $$ES_1=n\cdot 0{,}2<n\cdot 0{,}8=ES_2.$$

   Значит, математическое ожидание числа успехов в первой серии меньше, чем во второй.

   б) Дисперсии равны, так как

   $$DS_1=n\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8,$$

   $$DS_2=n\cdot 0{,}8\cdot 0{,}2,$$

   а эти выражения одинаковы.

5. При увеличении числа испытаний $$n$$:

   а) математическое ожидание числа успехов $$ES=np$$ увеличивается;

   б) математическое ожидание числа неудач $$n(1-p)$$ увеличивается;

   в) дисперсия числа успехов $$DS=npq$$ увеличивается;

   г) математическое ожидание частоты успеха $$EF=p$$ не меняется;

   д) стандартное отклонение частоты успеха

   $$\sigma_F=\sqrt{\dfrac{pq}{n}}$$

   уменьшается.

6. Да, верно. Дисперсия числа неудач в серии испытаний Бернулли также равна

   $$npq,$$

   то есть совпадает с дисперсией числа успехов.

Ответ

1) $$10$$; при 20 подбрасываниях выпало 7 орлов, это не совпало с ожидаемым значением, но отличается не сильно. 2) б). 3) $$ES=np,\ DS=npq,\ EF=p,\ DF=\dfrac{pq}{n},\ \sigma_F=\sqrt{\dfrac{pq}{n}}.$$ 4) $$ES_1<ES_2,$$ $$DS_1=DS_2.$$ 5) а) увеличивается; б) увеличивается; в) увеличивается; г) не меняется; д) уменьшается. 6) Да, верно.