Ответы на вопросы на стр.93 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

Задача

Чему равно ожидаемое число успехов $$S$$ при вероятности успеха $$0{,}5$$ в серии из $$20$$ испытаний? Подбросьте $$20$$ раз монету, считая успехом выпадение орла. Подсчитайте число наступивших успехов. Совпало ли число успехов с ожидаемым значением? Сильно ли оно отличается от ожидаемого значения?
Производится серия испытаний Бернулли. Выберите верное утверждение:
а) чем больше вероятность успеха, тем больше математическое ожидание числа неудач;
б) чем больше вероятность успеха, тем меньше математическое ожидание числа неудач;
в) среднее число успехов зависит только от числа экспериментов и не связано с вероятностью успеха.
Запишите формулы для математического ожидания и дисперсии случайных величин «число успехов» и «частота успеха» в серии из $$n$$ испытаний Бернулли с вероятностью успеха $$p$$.
Проводятся две серии испытаний Бернулли длины $$n$$. Вероятность успеха в первой серии равна $$0{,}2$$, а во второй вероятность успеха равна $$0{,}8$$. Не производя вычислений, сравните:
а) математические ожидания числа успехов в первой серии и во второй серии;
б) дисперсии числа успехов в первой серии и во второй серии.
Число испытаний $$n$$ увеличивается. Как себя ведёт при этом:
а) математическое ожидание числа успехов;
б) математическое ожидание числа неудач;
в) дисперсия числа успехов;
г) математическое ожидание частоты успеха;
д) стандартное отклонение частоты успеха?
Верно ли, что в серии испытаний Бернулли дисперсия числа успехов равна дисперсии числа неудач?

Подробный ответ

$$ES=np=20\cdot 0{,}5=10.$$

Пусть при подбрасывании монеты 20 раз выпало 7 орлов. Число успехов не совпало с ожидаемым значением, но оно не сильно отличается от него.

Ответ

$$ES=np=10.$$
При 20 подбрасываниях монеты ожидаемое число успехов равно $$10$$.
Верно утверждение б): чем больше вероятность успеха, тем меньше математическое ожидание числа неудач.
$$ES=np$$
$$DS=npq$$
$$EF=p$$
$$DF=\frac{pq}{n}$$
а) Чем больше вероятность успеха, тем меньше математическое ожидание числа неудач. Значит, математическое ожидание числа успехов в первой серии меньше, чем во второй.
б) Дисперсии числа успехов в первой и второй сериях равны:
$$DS_1=n\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8,\qquad DS_2=n\cdot 0{,}8\cdot 0{,}2.$$
а) Математическое ожидание числа успехов увеличивается.
б) Математическое ожидание числа неудач уменьшается.
в) Дисперсия числа успехов увеличивается.
г) Математическое ожидание частоты успеха не меняется.
д) Стандартное отклонение частоты успеха уменьшается.
Да, верно: в серии испытаний Бернулли дисперсия числа успехов равна дисперсии числа неудач, так как
$$DS=npq.$$