Упр.276 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

а) При каком р дисперсия числа успехов наибольшая возможная?
б) Чему равно наибольшее возможное стандартное отклонение числа успехов?
Указание. Рассмотрите выражение для дисперсии DS = npq как квадратный трёхчлен от р: у = n(р — р^2).

Дисперсия числа успехов в серии из $$n$$ испытаний Бернулли равна

$$DS=npq=np(1-p)=np-np^2.$$

Рассмотрим её как функцию от $$p$$:

$$y=-np^2+np.$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине:

$$p_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-n}{2(-n)}=\frac12.$$

Следовательно, дисперсия числа успехов наибольшая при

$$p=0{,}5.$$

Тогда $$q=1-p=0{,}5$$, и максимальная дисперсия равна

$$DS_{\max}=n\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5=\frac n4.$$

Стандартное отклонение — это корень из дисперсии:

$$\sigma_{\max}=\sqrt{DS_{\max}}=\sqrt{\frac n4}=\frac{\sqrt n}{2}.$$

Ответ

а) $$p=0{,}5$$; б) $$\sigma_{\max}=\frac{\sqrt n}{2}.$$