Упр.276 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

Проводится серия из $$n$$ испытаний Бернулли с вероятностью успеха $$p$$.

1. При каком $$p$$ дисперсия числа успехов наибольшая возможная?
2. Чему равно наибольшее возможное стандартное отклонение числа успехов?

Дисперсия числа успехов в серии испытаний Бернулли равна

$$DS=npq=np(1-p)=np-np^2.$$

Рассмотрим её как функцию от $$p$$:

$$y=-np^2+np.$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит, наибольшее значение достигается в вершине:

$$p_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{n}{2(-n)}=\frac12.$$

Следовательно, дисперсия числа успехов наибольшая при $$p=0{,}5.$$

Тогда $$q=1-p=0{,}5,$$ и

$$DS_{\max}=n\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5=0{,}25n.$$

Наибольшее возможное стандартное отклонение равно

$$\sigma_{\max}=\sqrt{DS_{\max}}=\sqrt{0{,}25n}=0{,}5\sqrt{n}.$$

Ответ: а) $$p=0{,}5$$; б) $$\sigma_{\max}=0{,}5\sqrt{n}.$$