Упр.242 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

Задача

а) наступит более 2 успехов; в) не все испытания окончатся неудачей;
б) наступит не более 2 неудач; г) наступит менее 4 успехов.

Подробный ответ

Пусть $$p=0{,}4$$ — вероятность успеха, тогда вероятность неудачи

$$q=1-p=1-0{,}4=0{,}6.$$

Используем формулу Бернулли:

$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k}.$$

а) Более 2 успехов в 4 испытаниях — это 3 или 4 успеха:
$$ P(3)+P(4)=C_4^3 p^3 q + C_4^4 p^4 $$
$$ =4\cdot 0{,}4^3\cdot 0{,}6+0{,}4^4 =4\cdot 0{,}064\cdot 0{,}6+0{,}0256 =0{,}1792. $$
б) Не более 2 неудач — это 2, 3 или 4 успеха:
$$ P(2)+P(3)+P(4)=C_4^2 p^2 q^2+C_4^3 p^3 q+C_4^4 p^4 $$
$$ =6\cdot 0{,}4^2\cdot 0{,}6^2+4\cdot 0{,}4^3\cdot 0{,}6+0{,}4^4 $$
$$ =6\cdot 0{,}16\cdot 0{,}36+4\cdot 0{,}064\cdot 0{,}6+0{,}0256 =0{,}5248. $$
в) Не все испытания окончатся неудачей — это событие, противоположное тому, что все 4 испытания будут неудачными:
$$ P(\text{все неудачи})=q^4=0{,}6^4=0{,}1296, $$
$$ P(\text{не все неудачи})=1-0{,}1296=0{,}8704. $$
г) Менее 4 успехов — это 0, 1, 2 или 3 успеха:
$$ P(0)+P(1)+P(2)+P(3) $$
$$ =q^4+C_4^1 p q^3+C_4^2 p^2 q^2+C_4^3 p^3 q $$
$$ =0{,}6^4+4\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6^3+6\cdot 0{,}4^2\cdot 0{,}6^2+4\cdot 0{,}4^3\cdot 0{,}6 $$
$$ =0{,}1296+0{,}3456+0{,}3456+0{,}1536=0{,}9744. $$