Упр.241 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

1. В некотором испытании Бернулли неудача наступает с вероятностью $$q=\frac{1}{3}$$. Найдите вероятность того, что в серии из $$5$$ таких испытаний: а) наступит ровно $$2$$ успеха; в) наступит более $$2$$ успехов; б) наступит ровно $$1$$ успех; г) наступит менее $$4$$ успехов.

Если $$q=\frac13,$$ то вероятность успеха равна

$$p=1-q=1-\frac13=\frac23.$$

Используем формулу Бернулли:

$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k}.$$

1. Ровно 2 успеха:

   $$P_5(2)=C_5^2\left(\frac23\right)^2\left(\frac13\right)^3$$

   $$=10\cdot \frac49 \cdot \frac1{27}=\frac{40}{243}\approx 0{,}165.$$

2. Ровно 1 успех:

   $$P_5(1)=C_5^1\left(\frac23\right)^1\left(\frac13\right)^4$$

   $$=5\cdot \frac23 \cdot \frac1{81}=\frac{10}{243}\approx 0{,}041.$$

3. Более 2 успехов:

   $$P_5(3)+P_5(4)+P_5(5)$$

   $$=C_5^3\left(\frac23\right)^3\left(\frac13\right)^2+C_5^4\left(\frac23\right)^4\left(\frac13\right)+C_5^5\left(\frac23\right)^5$$

   $$=10\cdot \frac{8}{27}\cdot \frac19+5\cdot \frac{16}{81}\cdot \frac13+\frac{32}{243}$$

   $$=\frac{80}{243}+\frac{80}{243}+\frac{32}{243}=\frac{192}{243}\approx 0{,}790.$$

4. Менее 4 успехов:

   $$P_5(0)+P_5(1)+P_5(2)$$

   $$=C_5^0\left(\frac23\right)^0\left(\frac13\right)^5+C_5^1\left(\frac23\right)^1\left(\frac13\right)^4+C_5^2\left(\frac23\right)^2\left(\frac13\right)^3$$

   $$=\frac{1}{243}+\frac{10}{243}+\frac{40}{243}=\frac{51}{243}=\frac{17}{81}\approx 0{,}210.$$

Ответ: а) $$\frac{40}{243}\approx 0{,}165$$; б) $$\frac{10}{243}\approx 0{,}041$$; в) $$\frac{192}{243}\approx 0{,}790$$; г) $$\frac{17}{81}\approx 0{,}210$$.