Упр.216 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)
Производятся последовательные одинаковые и независимые испытания до тех пор, пока не наступит успех. В каждом отдельном испытании вероятность успеха равна $$p$$, а вероятность неудачи равна $$q=1-p$$. Найдите вероятность события (выразите её через $$p$$ и $$q$$), заключающегося в том, что:
а) «успех случится при втором испытании»;
б) «успех случится позже четвёртого испытания»;
в) «успех случится не позже шестого испытания»;
г) «для достижения успеха потребуется от трёх до пяти испытаний».
Пусть в каждом испытании вероятность успеха равна $$p,$$ а неудачи — $$q=1-p.$$
Чтобы успех случился при втором испытании, нужно, чтобы первое испытание было неудачным, а второе — успешным:
$$P=qp.$$
Чтобы успех случился позже четвёртого испытания, первые четыре испытания должны закончиться неудачей:
$$P=q^4.$$
Событие «успех случится не позже шестого испытания» — это дополнение к событию «первые шесть испытаний неудачны»:
$$P=1-q^6.$$
Чтобы для достижения успеха потребовалось от трёх до пяти испытаний, успех должен наступить на 3-м, 4-м или 5-м испытании:
$$P=q^2p+q^3p+q^4p= q^2p(1+q+q^2).$$
Так как $$p=1-q,$$ получаем:
$$P=q^2-q^5=q^2(1-q^3).$$
Ответ
а) $$qp$$; б) $$q^4$$; в) $$1-q^6$$; г) $$q^2-q^5=q^2(1-q^3).$$
