Упр.208 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

1. Из отрезка $$[2;5]$$ случайным образом выбирается отрезок $$[a;b]$$ длины $$1$$. Найдите вероятность события: а) $$a<3$$; б) $$b<4$$; в) «середина отрезка $$[a;b]$$ заключена между числами $$3$$ и $$4$$»; г) «середина отрезка $$[a;b]$$ заключена между числами $$2{,}5$$ и $$4{,}5$$».

Пусть выбранный отрезок имеет вид $$[a;b]$$, причём $$b-a=1$$ и $$2\le a\le 4$$.

Так как длина отрезка равна $$1$$, то каждому значению $$a$$ из промежутка $$[2;4]$$ соответствует ровно один отрезок. Значит, все такие значения $$a$$ равновозможны, а длина всего промежутка равна $$4-2=2$$.

1. Событие $$a<3$$ соответствует значениям $$a\in[2;3)$$. Его длина равна $$3-2=1$$, поэтому

   $$P(a<3)=\frac{1}{2}=0{,}5.$$

2. Событие $$b<4$$. Так как $$b=a+1$$, то $$b<4 \iff a<3$$. Следовательно,

   $$P(b<4)=\frac{1}{2}=0{,}5.$$

3. Середина отрезка $$[a;b]$$ равна $$\frac{a+b}{2}=\frac{a+(a+1)}{2}=a+\frac12$$.

   Условие $$3<\frac{a+b}{2}<4$$ равносильно

   $$3<a+\frac12<4,$$

   откуда

   $$2{,}5<a<3{,}5.$$

   Длина этого промежутка равна $$1$$, значит

   $$P=\frac{1}{2}=0{,}5.$$

4. Середина отрезка заключена между числами $$2{,}5$$ и $$4{,}5$$, если

   $$2{,}5<a+\frac12<4{,}5,$$

   то есть

   $$2<a<4.$$

   Это весь возможный промежуток для $$a$$, кроме концов, поэтому вероятность равна

   $$P=1.$$

Ответ: а) $$0{,}5$$; б) $$0{,}5$$; в) $$0{,}5$$; г) $$1$$.