Упр.199 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

На окружности с центром О выбрана точка А. Из этой окружности выбирают случайную точку X. Найдите вероятность того, что угол $$\angle АОХ$$: а) меньше $$90^\circ$$; б) больше $$120^\circ$$; в) находится в пределах от $$30^\circ$$ до $$60^\circ$$.

Случайная точка $$X$$ равновероятно может попасть в любую точку окружности, поэтому вероятность равна отношению длины соответствующей дуги к длине всей окружности.

Угол $$AOX$$ равен центральному углу, опирающемуся на дугу $$AX$$.

1. $$\angle AOX<90^\circ$$ тогда и только тогда, когда точка $$X$$ лежит на дуге, соответствующей углу $$180^\circ$$.

   Тогда

   $$P=\frac{180^\circ}{360^\circ}=\frac12=0{,}5.$$

2. $$\angle AOX>120^\circ$$. Сначала найдём вероятность события $$\angle AOX<120^\circ$$:

   $$P(\angle AOX<120^\circ)=\frac{240^\circ}{360^\circ}=\frac23.$$

   Тогда

   $$P(\angle AOX>120^\circ)=1-\frac23=\frac13.$$

3. $$30^\circ<\angle AOX<60^\circ$$.

   Вероятность того, что $$\angle AOX<60^\circ$$, равна

   $$P(\angle AOX<60^\circ)=\frac{120^\circ}{360^\circ}=\frac13.$$

   Вероятность того, что $$\angle AOX<30^\circ$$, равна

   $$P(\angle AOX<30^\circ)=\frac{60^\circ}{360^\circ}=\frac16.$$

   Значит,

   $$P(30^\circ<\angle AOX<60^\circ)=\frac13-\frac16=\frac16.$$

Ответ: а) $$0{,}5$$; б) $$\frac13$$; в) $$\frac16$$.