Упр.192 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

В круге случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит: а) вписанному в круг квадрату; б) вписанному в круг равностороннему треугольнику.

Поскольку точка выбирается случайно внутри круга, искомая вероятность равна отношению площади фигуры к площади круга.

а)

Пусть радиус круга равен $$r$$, а сторона вписанного квадрата — $$a$$. Тогда диагональ квадрата равна диаметру круга:

$$a^2+a^2=(2r)^2$$

$$2a^2=4r^2$$

$$a^2=2r^2$$

Следовательно, площадь квадрата:

$$S_{\text{кв}}=a^2=2r^2.$$

Площадь круга:

$$S_{\text{кр}}=\pi r^2.$$

Тогда вероятность:

$$P=\frac{S_{\text{кв}}}{S_{\text{кр}}}=\frac{2r^2}{\pi r^2}=\frac{2}{\pi}\approx 0{,}637.$$

б)

Для равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиуса $$r$$, площадь выражается формулой:

$$S_{\text{тр}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}r^2.$$

Тогда вероятность равна:

$$P=\frac{S_{\text{тр}}}{S_{\text{кр}}}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}r^2}{\pi r^2}=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}\approx 0{,}413.$$

Ответ

а) $$\frac{2}{\pi}\approx 0{,}637$$; б) $$\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}\approx 0{,}413$$.