Упр.191 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

В квадрате ABCD случайным образом выбирается точка X. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит трапеции AMCD, где точка M: а) середина стороны BC; б) делит отрезок BC в отношении $$1:2$$, считая от точки C; в) делит отрезок BC в отношении $$m:n$$, считая от точки B.

а) Квадрат можно разбить на четыре равных треугольника. Площадь трапеции $$AMCD$$ составляет $$3$$ таких треугольника, а площадь квадрата $$ABCD$$ — $$4$$ треугольника. Тогда

$$P(AMCD)=\frac{S_{AMCD}}{S_{ABCD}}=\frac{3}{4}=0{,}75.$$

Ответ: $$0{,}75$$.

б) Пусть сторона квадрата равна $$a$$. Тогда

$$S_{ABCD}=a^2,$$

а площадь треугольника $$ABM$$ равна

$$S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{1}{3}a=\frac{1}{6}a^2.$$

Следовательно,

$$S_{AMCD}=S_{ABCD}-S_{ABM}=a^2-\frac{1}{6}a^2=\frac{5}{6}a^2.$$

Но по рисунку точка $$M$$ делит сторону $$BC$$ в отношении $$1:2$$, считая от точки $$C$$, значит $$BM=\frac{2}{3}a$$, а $$CM=\frac{1}{3}a$$. Тогда удобнее найти площадь трапеции как сумму прямоугольника и треугольника:

$$S_{AMCD}=\frac{1}{3}a\cdot a+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}a\cdot a=\frac{1}{3}a^2+\frac{1}{3}a^2=\frac{2}{3}a^2.$$

Тогда

$$P(AMCD)=\frac{S_{AMCD}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{2}{3}a^2}{a^2}=\frac{2}{3}.$$

Ответ: $$\frac{2}{3}$$.

в) Пусть $$BM=m$$, $$MC=n$$, тогда сторона квадрата равна $$m+n$$. Площадь квадрата:

$$S_{ABCD}=(m+n)^2.$$

Площадь трапеции $$AMCD$$ равна сумме площади прямоугольника шириной $$n$$ и площади треугольника с основанием $$m$$:

$$S_{AMCD}=n(m+n)+\frac{1}{2}m(m+n).$$

Тогда вероятность:

$$P(AMCD)=\frac{S_{AMCD}}{S_{ABCD}}=\frac{n(m+n)+\frac{1}{2}m(m+n)}{(m+n)^2}$$

$$=\frac{m+n}{(m+n)^2}\left(n+\frac{m}{2}\right)=\frac{n+\frac{m}{2}}{m+n}=\frac{2n+m}{2(m+n)}=\frac{2n+m}{2m+2n}.$$

Ответ: $$\frac{2n+m}{2m+2n}$$.