Упр.190 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

1. В квадрате $$ABCD$$ случайным образом выбирается точка $$X$$. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит треугольнику $$ADM$$, где точка $$M$$:
   а) середина стороны $$CD$$;
   б) делит отрезок $$CD$$ в отношении $$1:2$$, считая от точки $$C$$;
   в) делит отрезок $$CD$$ в отношении $$m:n$$, считая от точки $$C$$.

Пусть сторона квадрата равна $$a.$$ Тогда вероятность попадания случайной точки в треугольник равна отношению площадей:

$$P=\frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}}.$$

а)

Точка $$M$$ — середина стороны $$CD$$, значит $$DM=\frac{a}{2}.$$

Треугольник $$ADM$$ прямоугольный, поэтому

$$S_{ADM}=\frac12 \cdot AD \cdot DM=\frac12 \cdot a \cdot \frac{a}{2}=\frac{a^2}{4}.$$

Тогда

$$P=\frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}}=\frac{a^2/4}{a^2}=\frac14.$$

б)

Если $$CM:MD=1:2,$$ то $$CD=a$$ и

$$DM=\frac{2}{3}a.$$

Тогда

$$S_{ADM}=\frac12 \cdot a \cdot \frac{2}{3}a=\frac{a^2}{3},$$

а значит

$$P=\frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}}=\frac{a^2/3}{a^2}=\frac13.$$

в)

Если точка $$M$$ делит $$CD$$ в отношении $$m:n,$$ считая от точки $$C,$$ то

$$CM:MD=m:n,$$

следовательно,

$$DM=\frac{n}{m+n}\,a.$$

Тогда

$$S_{ADM}=\frac12 \cdot a \cdot \frac{n}{m+n}a=\frac{a^2n}{2(m+n)}.$$

Следовательно,

$$P=\frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}}=\frac{a^2n}{2(m+n)}\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{n}{2(m+n)}.$$

Ответ

а) $$\frac14$$; б) $$\frac13$$; в) $$\frac{n}{2(m+n)}$$.