Упр.162 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

У вахтёра в комнате доска с крючками. Всего 12 крючков, а на них 12 ключей. Доска упала, и ключи рассыпались. Вахтёр собрал ключи и развесил их в случайном порядке. Какова вероятность того, что:

а) каждый ключ висит на своём крючке;

б) хотя бы один ключ висит не на своём крючке;

в) два определённых ключа перепутаны местами, а остальные висят на своих крючках;

г) ровно один ключ висит не на своём крючке, а остальные — на своих.

Число равновозможных способов развесить 12 ключей по 12 крючкам равно числу перестановок:

$$N=12!$$

1. Чтобы каждый ключ висел на своём крючке, существует ровно один способ.

   Тогда

   $$P=\frac{1}{12!}$$

2. Событие «хотя бы один ключ висит не на своём крючке» является противоположным к событию «все ключи висят на своих местах».

   Значит,

   $$P=1-\frac{1}{12!}$$

3. Если два определённых ключа перепутаны местами, а остальные висят на своих крючках, то это также один-единственный способ размещения ключей.

   Следовательно,

   $$P=\frac{1}{12!}$$

4. Событие «ровно один ключ висит не на своём крючке, а остальные — на своих» невозможно: если один ключ оказался не на своём месте, то и какой-то другой ключ тоже должен быть не на своём месте.

   Поэтому

   $$P=0$$

Ответ: а) $$\frac{1}{12!}$$; б) $$1-\frac{1}{12!}$$; в) $$\frac{1}{12!}$$; г) $$0$$.