Упр.136 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

Задача

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не собьёт её. Рассмотрим события $$A$$ «стрелку потребовалось не более трёх выстрелов» и $$B$$ «стрелку потребовалось не более пяти выстрелов». Являются ли события $$A$$ и $$B$$ независимыми?

Подробный ответ

Обозначим:

$$A$$ — стрелку потребовалось не более трёх выстрелов,

$$B$$ — стрелку потребовалось не более пяти выстрелов.

Найдём вероятности этих событий.

Событие $$A$$ означает, что мишень будет сбита на 1-м, 2-м или 3-м выстреле:

$$P(A)=\frac12+\frac12\cdot\frac12+\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12 =\frac12+\frac14+\frac18=\frac78.$$

Событие $$B$$ означает, что мишень будет сбита не позже 5-го выстрела:

$$P(B)=\frac78+\left(\frac12\right)^4+\left(\frac12\right)^5 =\frac78+\frac1{16}+\frac1{32} =\frac{28}{32}+\frac{2}{32}+\frac{1}{32} =\frac{31}{32}.$$

Так как событие $$A$$ входит в событие $$B$$, то

$$P(A\cap B)=P(A)=\frac78.$$

Проверим независимость:

$$P(A)\cdot P(B)=\frac78\cdot\frac{31}{32}\ne \frac78=P(A\cap B).$$

Следовательно, события $$A$$ и $$B$$ не являются независимыми.