Упр.133 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

Задача

Случайным образом выбираем натуральное число от $$1$$ до $$24$$. Событие $$C$$ — «число чётное». Являются ли события $$C$$ и $$D$$ независимыми, если событие $$D$$ состоит в том, что:
а) выбранное число делится на $$3$$;
б) выбранное число делится на $$7$$?

Подробный ответ

Два события $$C$$ и $$D$$ называются независимыми, если

$$P(C \cap D)=P(C)\cdot P(D).$$

Решение

Всего равновозможных исходов $$24$$: выбирается одно из чисел от $$1$$ до $$24$$.

Событие $$C$$ — «число чётное».
Чётных чисел от $$1$$ до $$24$$ ровно $$12$$, значит
$$P(C)=\frac{12}{24}=\frac12.$$
а) Событие $$D$$ — «число делится на $$3$$».
Таких чисел $$8$$: $$3,6,9,12,15,18,21,24$$, поэтому
$$P(D)=\frac{8}{24}=\frac13.$$
Пересечение событий $$C \cap D$$ — числа, которые чётные и делятся на $$3$$, то есть делятся на $$6$$:
$$C \cap D=\{6,12,18,24\}, \qquad P(C \cap D)=\frac{4}{24}=\frac16.$$
Проверим независимость:
$$P(C)\cdot P(D)=\frac12 \cdot \frac13=\frac16.$$
Так как $$P(C \cap D)=P(C)\cdot P(D)$$, события $$C$$ и $$D$$ независимы.
б) Событие $$D$$ — «число делится на $$7$$».
Таких чисел $$3$$: $$7,14,21$$, значит
$$P(D)=\frac{3}{24}=\frac18.$$
Пересечение событий $$C \cap D$$ — только число $$14$$:
$$C \cap D=\{14\}, \qquad P(C \cap D)=\frac{1}{24}.$$
Проверим:
$$P(C)\cdot P(D)=\frac12 \cdot \frac18=\frac{1}{16}.$$
Так как $$\frac{1}{24}\ne \frac{1}{16}$$, события $$C$$ и $$D$$ не являются независимыми.