Упр.986 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)
- Решите системы для всех возможных значений $$a$$, $$b$$, $$c$$ и $$d$$:
а) $$\begin{cases}x+y=a,\\x-3y=b;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x+y=a,\\\frac{x}{b}+\frac{y}{c}=d;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}x+y=a,\\\frac{x}{b}-\frac{y}{c}=d.\end{cases}$$
а) Сложим уравнения системы:
$$\begin{cases} x+y=a,\\ x-3y=b \end{cases}$$
Получаем:
$$4y=a-b,\qquad y=\frac{a-b}{4}.$$
Тогда
$$x=a-y=a-\frac{a-b}{4}=\frac{3a+b}{4}.$$
Значит,
$$(x;y)=\left(\frac{3a+b}{4};\frac{a-b}{4}\right).$$
При любых значениях $$a$$ и $$b$$ система имеет единственное решение.
б) Умножим второе уравнение на $$bc$$:
$$\begin{cases} x+y=a,\\ \frac{x}{b}+\frac{y}{c}=d \end{cases} \qquad \Rightarrow \qquad \begin{cases} x+y=a,\\ xc+by=bcd \end{cases}$$
Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на $$c$$:
$$xc+yc=ac$$
$$yc-by=ac-bcd$$
$$y(c-b)=c(a-bd).$$
Если $$c\ne b$$, то
$$y=\frac{ac-bcd}{c-b},\qquad x=a-y=\frac{bcd-ab}{c-b}.$$
Если $$c=b$$, то система принимает вид
$$\begin{cases} x+y=a,\\ \frac{x+y}{b}=d \end{cases}$$
то есть $$a=bd$$. Тогда решений бесконечно много: $$x$$ — любое число, $$y=a-x$$. Если $$a\ne bd$$, решений нет.
в) Умножим второе уравнение на $$bc$$:
$$\begin{cases} x+y=a,\\ \frac{x}{b}-\frac{y}{c}=d \end{cases} \qquad \Rightarrow \qquad \begin{cases} x+y=a,\\ xc-by=bcd \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$c$$ и сложим с полученным:
$$xc+yc=ac$$
$$xc-by=bcd$$
$$y(c+b)=c(a-bd).$$
Если $$c\ne -b$$, то
$$y=\frac{ac-bcd}{c+b},\qquad x=a-y=\frac{bcd+ab}{c+b}.$$
Если $$c=-b$$, то система сводится к условию $$a=-bd$$. Тогда решений бесконечно много: $$x$$ — любое число, $$y=a-x$$. Если $$a\ne -bd$$, решений нет.
Ответ
а) $$\left(\frac{3a+b}{4};\frac{a-b}{4}\right)$$, при любых $$a$$ и $$b$$.
б) Если $$c\ne b$$, то $$\left(\frac{bcd-ab}{c-b};\frac{ac-bcd}{c-b}\right)$$; если $$c=b$$ и $$a=bd$$, то $$x$$ — любое число, $$y=a-x$$; если $$c=b$$ и $$a\ne bd$$, решений нет.
в) Если $$c\ne -b$$, то $$\left(\frac{bcd+ab}{c+b};\frac{ac-bcd}{c+b}\right)$$; если $$c=-b$$ и $$a=-bd$$, то $$x$$ — любое число, $$y=a-x$$; если $$c=-b$$ и $$a\ne -bd$$, решений нет.
