Упр.984 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

(b + х)а = ((а + b)х + (а + х)b)/2,
где х — неизвестное, а и b — известные числа.
Определите, при каком условии:
а) уравнение имеет единственный корень;
б) уравнение не имеет корней;
в) корнем уравнения является любое число х.

Преобразуем уравнение:

$$ (b+x)a=\frac{(a+b)x+(a+x)b}{2} $$

Раскроем скобки:

$$ ab+ax=\frac{ax+bx+ab+bx}{2} $$

Умножим обе части на $$2$$:

$$ 2ab+2ax=ax+2bx+ab $$

Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а свободные — в правую:

$$ 2ax-ax-2bx=ab-2ab $$

$$ ax-2bx=-ab $$

$$ x(a-2b)=-ab $$

Если $$a-2b\neq 0$$, то

$$ x=\frac{-ab}{a-2b}=\frac{ab}{2b-a} $$

Теперь рассмотрим случаи:

• если $$a\neq 2b$$, уравнение имеет единственный корень;
• если $$a=2b$$ и $$b\neq 0$$, получаем противоречие, значит корней нет;
• если $$a=2b$$ и $$b=0$$, то $$a=0$$, и уравнение обращается в тождество, значит $$x$$ — любое число.

Ответ

$$ x=\frac{ab}{2b-a} $$

а) при $$a\neq 2b$$;

б) при $$a=2b,\ b\neq 0$$;

в) при $$a=2b,\ b=0$$.