Упр.960 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

a3+b3+((b(2a3+b3))/(a3-b3))3 = ((a(a3+2b3))/(a3-b3))3.

Преобразуем левую часть:

$$a^3+b^3+\left(\frac{b(2a^3+b^3)}{a^3-b^3}\right)^3 = a^3+b^3+\frac{b^3(2a^3+b^3)^3}{(a^3-b^3)^3}.$$

Сделаем замену:

$$x=a^3,\quad y=b^3.$$

Тогда нужно доказать равенство

$$x+y+\frac{y(2x+y)^3}{(x-y)^3}=\frac{x(x+2y)^3}{(x-y)^3}.$$

Раскроем кубы:

$$ (2x+y)^3=8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3, $$

$$ (x+2y)^3=x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3. $$

Умножим обе части на $$(x-y)^3$$:

$$ (x+y)(x-y)^3+y(2x+y)^3=x(x+2y)^3. $$

Раскроем скобки в левой части:

$$ (x+y)(x^3-3x^2y+3xy^2-y^3)+y(8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3) $$

$$ = x^4+6x^3y+12x^2y^2+8xy^3. $$

Правая часть тоже равна

$$ x(x+2y)^3=x(x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3) = x^4+6x^3y+12x^2y^2+8xy^3. $$

Следовательно,

$$x+y+\frac{y(2x+y)^3}{(x-y)^3}=\frac{x(x+2y)^3}{(x-y)^3},$$

а значит, и исходное тождество верно.

Ответ

Тождество доказано.