Упр.955 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

а) 1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + .. + 1/(n-1)*n < 1; б) 1/(1*3) + 1/(3*5) + 1/(5*7) + .. + 1/(2n-1)*(2n+1) < 1/2.

а) Преобразуем каждую дробь в разность:

$$ \frac{1}{1\cdot 2}=\frac12,\quad \frac{1}{2\cdot 3}=\frac12-\frac13,\quad \frac{1}{3\cdot 4}=\frac13-\frac14,\ \ldots,\ \frac{1}{(n-1)\cdot n}=\frac{1}{n-1}-\frac1n. $$

Тогда

$$ \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{(n-1)\cdot n} = 1-\frac1n. $$

Так как $$\frac1n>0$$, то

$$ 1-\frac1n<1. $$

Значит, неравенство верно при любом натуральном $$n$$.

б) Аналогично представим каждую дробь в виде разности:

$$ \frac{1}{1\cdot 3}=\frac12\left(1-\frac13\right),\quad \frac{1}{3\cdot 5}=\frac12\left(\frac13-\frac15\right),\quad \frac{1}{5\cdot 7}=\frac12\left(\frac15-\frac17\right),\ \ldots $$

Тогда

$$ \frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} $$
$$ = \frac12\left(1-\frac13+\frac13-\frac15+\frac15-\frac17+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right). $$

После сокращения получаем:

$$ \frac12\left(1-\frac{1}{2n+1}\right). $$

Так как $$\frac{1}{2n+1}>0$$, то

$$ \frac12\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)<\frac12. $$

Следовательно, неравенство верно при любом натуральном $$n$$.

Ответ

а) $$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{(n-1)\cdot n}=1-\frac1n<1$$;
б) $$\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac12\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)<\frac12$$.