Упр.955 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)
- Докажите, что при любом натуральном $$n$$:
а) $$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\ldots+\frac{1}{(n-1)\cdot n}<1$$;
б) $$\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)\cdot(2n+1)}<\frac{1}{2}$$.
а) Преобразуем каждую дробь в разность:
$$\frac{1}{1\cdot 2}=\frac12,\quad \frac{1}{2\cdot 3}=\frac12-\frac13,\quad \frac{1}{3\cdot 4}=\frac13-\frac14,\ \ldots,\ \frac{1}{(n-1)\cdot n}=\frac{1}{n-1}-\frac1n.$$
Тогда
$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{(n-1)\cdot n} = 1-\frac1n.$$
Так как $$\frac1n>0$$, то
$$1-\frac1n<1.$$
Значит, неравенство верно при любом натуральном $$n$$.
б) Аналогично представим каждую дробь в виде разности:
$$\frac{1}{1\cdot 3}=\frac12\left(1-\frac13\right),\quad \frac{1}{3\cdot 5}=\frac12\left(\frac13-\frac15\right),\quad \frac{1}{5\cdot 7}=\frac12\left(\frac15-\frac17\right),\ \ldots$$
Тогда
$$\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$$
$$= \frac12\left(1-\frac13+\frac13-\frac15+\frac15-\frac17+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right).$$
После сокращения получаем:
$$\frac12\left(1-\frac{1}{2n+1}\right).$$
Так как $$\frac{1}{2n+1}>0$$, то
$$\frac12\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)<\frac12.$$
Следовательно, неравенство верно при любом натуральном $$n$$.
Ответ
а) $$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{(n-1)\cdot n}=1-\frac1n<1$$;
б) $$\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac12\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)<\frac12$$.
