Упр.954 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Задача

Вычислите:

а) $$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\ldots+\frac{1}{9\cdot10}$$;

б) $$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\ldots+\frac{1}{90\cdot100}$$;

в) $$\frac{1}{2\cdot4}+\frac{1}{4\cdot6}+\frac{1}{6\cdot8}+\ldots+\frac{1}{98\cdot100}$$.

Подробный ответ

а) Разложим каждую дробь на разность:

$$\frac{1}{1\cdot 2}=\frac12\left(\frac11-\frac12\right),\quad \frac{1}{2\cdot 3}=\frac12\left(\frac12-\frac13\right),\quad \ldots,\quad \frac{1}{9\cdot 10}=\frac12\left(\frac19-\frac1{10}\right).$$

Тогда

$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{9\cdot 10} =\frac12\left(1-\frac1{10}\right)=\frac12\cdot\frac9{10}=\frac9{20}=0{,}45.$$

б) Аналогично:

$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{99\cdot 100} =\frac12\left(1-\frac1{100}\right)=\frac12\cdot\frac{99}{100}=\frac{99}{200}=0{,}495.$$

в) Вынесем $$\frac14$$:

$$\frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 6}+\cdots+\frac{1}{98\cdot 100} =\frac14\left(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{49\cdot 50}\right).$$

По формуле из пункта а):

$$\frac14\left(\frac12\left(1-\frac1{50}\right)\right) =\frac14\cdot\frac12\cdot\frac{49}{50} =\frac{49}{400}=0{,}1225.$$