Упр.951 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

а) x2+1/x2;
б) x3+1/x3
целое число.

Пусть $$x+\frac{1}{x}$$ — целое число.

Тогда

$$x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2.$$

Так как $$x+\frac{1}{x}$$ — целое число, то и $$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2$$ — целое число. Значит, $$x^2+\frac{1}{x^2}$$ — целое число.

Теперь рассмотрим выражение

$$x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\frac{1}{x}\right).$$

Поскольку $$x+\frac{1}{x}$$ — целое число, то и правая часть является целым числом. Следовательно, $$x^3+\frac{1}{x^3}$$ — целое число.

Ответ

а) $$x^2+\frac{1}{x^2}$$ — целое число;
б) $$x^3+\frac{1}{x^3}$$ — целое число.