Упр.925 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

а) Раскроем скобки:

$$\frac12(m+n)^2+\frac12(m-n)^2$$

$$=\frac12(m^2+2mn+n^2)+\frac12(m^2-2mn+n^2)$$

$$=\frac12m^2+mn+\frac12n^2+\frac12m^2-mn+\frac12n^2$$

$$=m^2+n^2.$$

б) Используем формулу квадрата разности и суммы:

$$\left(\frac12(m+n)\right)^2-\left(\frac12(m-n)\right)^2$$

$$=\left(\frac12m+\frac12n\right)^2-\left(\frac12m-\frac12n\right)^2$$

$$=\left(\frac14m^2+\frac12mn+\frac14n^2\right)-\left(\frac14m^2-\frac12mn+\frac14n^2\right)$$

$$=mn.$$

в) Раскроем скобки:

$$(7b-5c)^2(b+2c)-b\bigl((7b+2c)^2-119c^2\bigr)$$

$$=(49b^2-70bc+25c^2)(b+2c)-b(49b^2+28bc+4c^2-119c^2)$$

$$=49b^3+98b^2c-70b^2c-140bc^2+25bc^2+50c^3$$

$$\quad -\,b(49b^2+28bc-115c^2)$$

$$=49b^3+28b^2c-115bc^2+50c^3-49b^3-28b^2c+115bc^2$$

$$=50c^3.$$

г)

$$(3a-2x)^2(a+3x)-\bigl((a-x)(a^2+16ax-16x^2)-4x^3\bigr)$$

$$=(9a^2-12ax+4x^2)(a+3x)-\bigl(a^3+15a^2x-32ax^2+12x^3\bigr)$$

$$=9a^3+27a^2x-12a^2x-36ax^2+4ax^2+12x^3$$

$$\quad -a^3-15a^2x+32ax^2-12x^3$$

$$=8a^3.$$

д)

$$c(8c+3a)^2-\bigl((8c-a)^2(c+a)+24a^2c\bigr)$$

$$=c(64c^2+48ac+9a^2)-\bigl((64c^2-16ac+a^2)(c+a)+24a^2c\bigr)$$

$$=64c^3+48ac^2+9a^2c$$

$$\quad -\bigl(64c^3+48ac^2+9a^2c+a^3\bigr)$$

$$=-a^3.$$

е)

$$(a+b)^3-3ab(a+b)$$

$$=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2$$

$$=a^3+b^3.$$

ж)

$$(x-y)^3+3xy(x-y)$$

$$=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3+3x^2y-3xy^2$$

$$=x^3-y^3.$$

з)

$$(b-c)^3+(c-a)^3+(a-b)^3-3(a-b)(b-c)(c-a)$$

$$=b^3-3b^2c+3bc^2-c^3+c^3-3c^2a+3ca^2-a^3+3a^2b-3ab^2+b^3$$

$$\quad -3(a-b)(b-c)(c-a)$$

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получаем:

$$0.$$

Ответ

а) $$m^2+n^2$$; б) $$mn$$; в) $$50c^3$$; г) $$8a^3$$; д) $$-a^3$$; е) $$a^3+b^3$$; ж) $$x^3-y^3$$; з) $$0$$.