Упр.925 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)
а) 1/2*(m + n)2 + 1/2*(m — n)2 = m2 + n2;
б) 1/2*(m+n)2 — (1/2(m-n))2=mn;
в) (7b — 5с)2(b + 2с) — b((7b + 2с)2 — 119с2) = 50с3;
г) (За — 2x)2 (а + Зх) — ((а — х)(а2 + 16ах — 16×2) — 4×3) = 8а3;
д) с (8с + За)2 — ((8с — а)2 (с + а) + 24а2с) = -а3;
е) (а + b)3 — 3ab(a + b) = а3 + b3;
ж) (x — у)3 + 3ху(х — у) = х3 — у3;
з) (b — с)3 + (с — а)3 + (а — b)3 — 3 (а — b) (b — с) (с — а).
а) Раскроем скобки:
$$ \frac12(m+n)^2+\frac12(m-n)^2 $$
$$ =\frac12(m^2+2mn+n^2)+\frac12(m^2-2mn+n^2) $$
$$ =\frac12m^2+mn+\frac12n^2+\frac12m^2-mn+\frac12n^2 $$
$$ =m^2+n^2. $$
б) Используем формулу квадрата разности и суммы:
$$ \left(\frac12(m+n)\right)^2-\left(\frac12(m-n)\right)^2 $$
$$ =\left(\frac12m+\frac12n\right)^2-\left(\frac12m-\frac12n\right)^2 $$
$$ =\left(\frac14m^2+\frac12mn+\frac14n^2\right)-\left(\frac14m^2-\frac12mn+\frac14n^2\right) $$
$$ =mn. $$
в) Раскроем скобки:
$$ (7b-5c)^2(b+2c)-b\bigl((7b+2c)^2-119c^2\bigr) $$
$$ =(49b^2-70bc+25c^2)(b+2c)-b(49b^2+28bc+4c^2-119c^2) $$
$$ =49b^3+98b^2c-70b^2c-140bc^2+25bc^2+50c^3 $$
$$ \quad -\,b(49b^2+28bc-115c^2) $$
$$ =49b^3+28b^2c-115bc^2+50c^3-49b^3-28b^2c+115bc^2 $$
$$ =50c^3. $$
г)
$$ (3a-2x)^2(a+3x)-\bigl((a-x)(a^2+16ax-16x^2)-4x^3\bigr) $$
$$ =(9a^2-12ax+4x^2)(a+3x)-\bigl(a^3+15a^2x-32ax^2+12x^3\bigr) $$
$$ =9a^3+27a^2x-12a^2x-36ax^2+4ax^2+12x^3 $$
$$ \quad -a^3-15a^2x+32ax^2-12x^3 $$
$$ =8a^3. $$
д)
$$ c(8c+3a)^2-\bigl((8c-a)^2(c+a)+24a^2c\bigr) $$
$$ =c(64c^2+48ac+9a^2)-\bigl((64c^2-16ac+a^2)(c+a)+24a^2c\bigr) $$
$$ =64c^3+48ac^2+9a^2c $$
$$ \quad -\bigl(64c^3+48ac^2+9a^2c+a^3\bigr) $$
$$ =-a^3. $$
е)
$$ (a+b)^3-3ab(a+b) $$
$$ =a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2 $$
$$ =a^3+b^3. $$
ж)
$$ (x-y)^3+3xy(x-y) $$
$$ =x^3-3x^2y+3xy^2-y^3+3x^2y-3xy^2 $$
$$ =x^3-y^3. $$
з)
$$ (b-c)^3+(c-a)^3+(a-b)^3-3(a-b)(b-c)(c-a) $$
$$ =b^3-3b^2c+3bc^2-c^3+c^3-3c^2a+3ca^2-a^3+3a^2b-3ab^2+b^3 $$
$$ \quad -3(a-b)(b-c)(c-a) $$
После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получаем:
$$ 0. $$
Ответ
а) $$m^2+n^2$$; б) $$mn$$; в) $$50c^3$$; г) $$8a^3$$; д) $$-a^3$$; е) $$a^3+b^3$$; ж) $$x^3-y^3$$; з) $$0$$.
