Упр.922 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Докажите, что если при некоторых целых $$x$$ и $$y$$ выражение $$x^2+9xy+y^2$$ делится на $$11$$, то и $$x^2-y^2$$ делится на $$11$$.

Преобразуем выражение:

$$x^2+9xy+y^2=(x^2-2xy+y^2)+11xy=(x-y)^2+11xy.$$

По условию $$x^2+9xy+y^2$$ делится на $$11$$, значит и разность

$$x^2+9xy+y^2-11xy=(x-y)^2$$

тоже делится на $$11$$.

Следовательно, $$x-y$$ делится на $$11$$.

Тогда

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y),$$

а так как один из множителей $$x-y$$ делится на $$11$$, то и всё произведение делится на $$11$$.

Ответ

$$x^2-y^2$$ делится на $$11$$.