Упр.920 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

920. Докажите, что если при некоторых целых $$a$$ и $$b$$ выражение $$4a-5b$$ делится на $$13$$, то выражение $$8a-23b$$ также делится на $$13$$.

Преобразуем выражение:

$$8a-23b=(4a+4a)-(5b+18b)$$

$$8a-23b=(4a-5b)+(4a-18b)$$

Так как

$$4a-18b=(4a-5b)-13b,$$

то

$$8a-23b=(4a-5b)+\bigl((4a-5b)-13b\bigr)=2(4a-5b)-13b.$$

По условию $$4a-5b$$ делится на 13. Тогда и $$2(4a-5b)$$ делится на 13. Кроме того, $$13b$$ тоже делится на 13.

Следовательно, сумма $$2(4a-5b)-13b$$ делится на 13, значит, и выражение $$8a-23b$$ делится на 13.

Ответ

$$8a-23b$$ делится на 13.