Упр.920 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

920. Докажите, что если при некоторых целых а и b выражение 4а — 5b делится на 13, то выражение 8а — 23b также делится на 13.

Преобразуем выражение:

$$ 8a-23b=(4a+4a)-(5b+18b) $$

$$ 8a-23b=(4a-5b)+(4a-18b) $$

Так как

$$ 4a-18b=(4a-5b)-13b, $$

то

$$ 8a-23b=(4a-5b)+\bigl((4a-5b)-13b\bigr)=2(4a-5b)-13b. $$

По условию $$4a-5b$$ делится на 13. Тогда и $$2(4a-5b)$$ делится на 13. Кроме того, $$13b$$ тоже делится на 13.

Следовательно, сумма $$2(4a-5b)-13b$$ делится на 13, значит, и выражение $$8a-23b$$ делится на 13.

Ответ

$$8a-23b$$ делится на 13.