Упр.918 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Докажите, что произведение четырёх последовательных натуральных чисел, увеличенное на 1, есть точный квадрат.

Обозначим четыре последовательных натуральных числа как $$n-1,\; n,\; n+1,\; n+2.$$ Тогда их произведение, увеличенное на 1, равно

$$(n-1)n(n+1)(n+2)+1.$$

Сгруппируем множители:

$$(n-1)(n+1)=n^2-1,\qquad n(n+2)=n^2+2n.$$

Тогда

$$(n-1)n(n+1)(n+2)+1=(n^2-1)(n^2+2n)+1.$$

Раскроем скобки:

$$(n^2-1)(n^2+2n)+1=n^4+2n^3-n^2-2n+1.$$

Заметим, что

$$n^4+2n^3-n^2-2n+1=(n^2+n-1)^2.$$

Следовательно, произведение четырёх последовательных натуральных чисел, увеличенное на 1, является точным квадратом.

Ответ

$$(n-1)n(n+1)(n+2)+1=(n^2+n-1)^2$$
— точный квадрат.