Упр.918 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 7 класс, Просвещение: 918. Докажите, что произведение четырёх последовательных натуральных чисел, увеличенное на 1, есть точный квадрат. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 nikol7 918 715

Подробный ответ

Обозначим четыре последовательных натуральных числа как $$n-1,\; n,\; n+1,\; n+2.$$ Тогда их произведение, увеличенное на 1, равно

$$ (n-1)n(n+1)(n+2)+1. $$

Сгруппируем множители:

$$ (n-1)(n+1)=n^2-1,\qquad n(n+2)=n^2+2n. $$

Тогда

$$ (n-1)n(n+1)(n+2)+1=(n^2-1)(n^2+2n)+1. $$

Раскроем скобки:

$$ (n^2-1)(n^2+2n)+1=n^4+2n^3-n^2-2n+1. $$

Заметим, что

$$ n^4+2n^3-n^2-2n+1=(n^2+n-1)^2. $$

Следовательно, произведение четырёх последовательных натуральных чисел, увеличенное на 1, является точным квадратом.