Упр.916 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Зная, что $$x^3-x$$ (где $$x$$ — целое число) делится на 6, докажите, что выражения $$x^3-7x$$, $$x^3+11x$$, $$5x^3+13x-30$$ делятся на 6.

Так как $$x^3-x$$ делится на $$6$$, то это выражение можно использовать как слагаемое в разложении данных многочленов.

1) Рассмотрим выражение $$x^3-7x$$:

$$x^3-7x=(x^3-x)-6x.$$

По условию $$x^3-x$$ делится на $$6$$, а $$6x$$ тоже делится на $$6$$. Значит, их разность делится на $$6$$.

2) Рассмотрим выражение $$x^3+11x$$:

$$x^3+11x=(x^3-x)+12x.$$

Так как $$x^3-x$$ делится на $$6$$, и $$12x$$ делится на $$6$$, то сумма этих выражений делится на $$6$$.

3) Рассмотрим выражение $$5x^3+13x-30$$:

$$5x^3+13x-30=5(x^3-x)+18x-30.$$

Преобразуем вторую часть:

$$18x-30=6(3x-5).$$

Тогда

$$5x^3+13x-30=5(x^3-x)+6(3x-5).$$

Так как $$x^3-x$$ делится на $$6$$, то и $$5(x^3-x)$$ делится на $$6$$. Кроме того, $$6(3x-5)$$ делится на $$6$$. Следовательно, всё выражение делится на $$6$$.

Ответ

$$x^3-7x,\; x^3+11x,\; 5x^3+13x-30$$ делятся на $$6$$.