Упр.915 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Задача

915. Докажите, что:
а) квадрат нечётного натурального числа есть число нечётное;
б) при и А = m — 1 выражение А2 + А + m является полным квадратом;
в) для любого целого n произведение n(n + 1)(2n + 1) делится на 6;
г) сумма двух последовательных нечётных чисел делится на 4;
д) разность квадратов двух любых нечётных чисел делится на 4;
е) квадрат нечётного числа, уменьшенный на единицу, делится на 8;
ж) разность куба натурального числа и самого числа делится на 6.

Подробный ответ

Пусть нечётное натуральное число равно $$2n+1$$. Тогда
$$ (2n+1)^2=4n^2+4n+1. $$
Число $$4n^2+4n$$ чётное, а прибавление единицы даёт нечётное число. Значит, квадрат нечётного натурального числа нечётен.
Пусть $$A=m-1$$. Тогда
$$ A^2+A+m=(m-1)^2+(m-1)+m $$
$$ =m^2-2m+1+m-1+m=m^2. $$
Получили полный квадрат.
Рассмотрим произведение $$n(n+1)(2n+1)$$.
Из двух последовательных чисел $$n$$ и $$n+1$$ одно чётное, значит, произведение $$n(n+1)$$ делится на $$2$$.
Кроме того, среди чисел $$n$$, $$n+1$$, $$2n+1$$ одно обязательно делится на $$3$$: если $$n$$ делится на $$3$$, то делится на $$3$$; если $$n+1$$ делится на $$3$$, то делится на $$3$$; если ни $$n$$, ни $$n+1$$ не делятся на $$3$$, то $$n\equiv 1 \pmod 3$$ и $$n+1\equiv 2 \pmod 3$$, поэтому
$$ 2n+1\equiv 2\cdot 1+1=3\equiv 0 \pmod 3. $$
Значит, произведение делится и на $$3$$. Следовательно, оно делится на $$6$$.
Пусть два последовательных нечётных числа равны $$2n+1$$ и $$2n+3$$. Тогда
$$ (2n+1)+(2n+3)=4n+4=4(n+1). $$
Сумма делится на $$4$$.
Пусть два нечётных числа равны $$2n+1$$ и $$2n+3$$. Тогда
$$ (2n+3)^2-(2n+1)^2 =\bigl((2n+3)-(2n+1)\bigr)\bigl((2n+3)+(2n+1)\bigr) $$
$$ =2(4n+4)=8(n+1). $$
Следовательно, разность квадратов делится на $$4$$.
Пусть дано нечётное число $$2n+1$$. Тогда
$$ (2n+1)^2-1=4n^2+4n=4n(n+1). $$
Так как числа $$n$$ и $$n+1$$ последовательные, одно из них чётное, значит, $$n(n+1)$$ делится на $$2$$. Следовательно, $$4n(n+1)$$ делится на $$8$$.
Для натурального $$n$$ имеем
$$ n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1). $$
Это произведение трёх последовательных чисел. Среди них одно делится на $$2$$, а одно делится на $$3$$. Значит, всё произведение делится на $$6$$.