Задание на исследование 8 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Пусть $$\frac{1}{a}$$ и $$\frac{1}{b}$$ — знаменатели двух алгебраических дробей, причём $$a>b$$. Тогда

$$\frac{1}{24}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$ab=24a+24b.$$

Перенесём слагаемые и преобразуем:

$$ab-24b=24a,$$

$$b(a-24)=24a,$$

$$b=\frac{24a}{a-24}.$$

Аналогично можно записать

$$a=\frac{24b}{b-24}.$$

Введём обозначения:

$$a-24=m,\qquad b-24=n,$$

тогда

$$a=m+24,\qquad b=n+24.$$

Подставим в исходное равенство:

$$\frac{1}{24}=\frac{1}{m+24}+\frac{1}{n+24}.$$

Умножим на $$24(m+24)(n+24)$$:

$$ (m+24)(n+24)=24(n+24)+24(m+24). $$

Раскроем скобки:

$$mn+24m+24n+576=24n+576+24m+576.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$mn=576.$$

Значит, нужно найти все пары натуральных чисел $$m$$ и $$n$$, произведение которых равно $$576$$, и при этом $$a>b$$, то есть $$m>n$$.

Разложим число $$576$$ на пары множителей:

$$576=1\cdot576=2\cdot288=3\cdot192=4\cdot144=6\cdot96=8\cdot72=9\cdot64=12\cdot48=16\cdot36=18\cdot32=24\cdot24.$$

Получаем 10 различных пар, а значит, 10 способов представить дробь $$\frac{1}{24}$$ в виде суммы двух аликвотных дробей.

Ответ

10 способов.