Упр.797 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2 остаток 1, на 3 остаток 2, на 4 остаток 3, на 5 остаток 4, на 6 остаток 5, на 7 остаток 6, на 8 остаток 7, на 9 остаток 8, на 10 остаток 9.

Пусть $$x$$ — наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию.

Так как при делении на каждое из чисел $$2,3,4,5,6,7,8,9,10$$ получается остаток на 1 меньше делителя, то число $$x+1$$ делится на все эти числа.

Найдём их наименьшее общее кратное:

$$2=2,\quad 3=3,\quad 4=2^2,\quad 5=5,\quad 6=2\cdot 3,\quad 7=7,\quad 8=2^3,\quad 9=3^2,\quad 10=2\cdot 5$$

$$\operatorname{НОК}(2,3,4,5,6,7,8,9,10)=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=2520$$

Значит,

$$x+1=2520$$

$$x=2520-1=2519$$

Ответ

$$2519$$