Упр.775 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

а) система
3x-5y=1,
x-10y=-8;
б) система
-2x+3y=0,
4x-5y=2;
в) система
3x-4y=-1,
5x+6y=11;
г) система
x+2y+3z=4,
2x+3y-4z=7,
3x-4y+5z=2;
д) система
3x+y-z=-1,
2x-3y+2z=2,
-x+5y-3z=-3;
е) система
-3x+5y-2z=0,
3x-2y+5z=6,
4x+2y-5z=1;
ж) система
x+y+z=1,
x-y-z=1,
-x+y+z=-1;
з) система
x+y+z=6,
2x-y+2z=6,
-x+3y-z=2;
и) система
-2x+7y-4z=1,
4x-8y+5z=1,
3x+2y-4z=1;
к) система
3x-2y+z=3,
x+3y+2z=3,
2x+y+3z=2.

1. а)

   $$\begin{cases} 3x-5y=1 \\ x-10y=-8 \end{cases}$$
   Умножим второе уравнение на $$2$$:
   $$\begin{cases} 3x-5y=1 \\ 2x-20y=-16 \end{cases}$$
   Вычтем из первого уравнения второе, умноженное на $$1$$:
   $$x+15y=17$$
   Удобнее выразить $$x$$ из второго уравнения:
   $$x=-8+10y.$$
   Подставим в первое:
   $$3(-8+10y)-5y=1,$$
   $$-24+30y-5y=1,$$
   $$25y=25,$$
   $$y=1.$$
   Тогда
   $$x=-8+10\cdot 1=2.$$

   Ответ: $$ (2;1) $$

2. б)

   $$\begin{cases} -2x+3y=0 \\ 4x-5y=2 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$2$$:
   $$\begin{cases} -4x+6y=0 \\ 4x-5y=2 \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$y=2.$$
   Подставим во второе:
   $$4x-5\cdot 2=2,$$
   $$4x=12,$$
   $$x=3.$$

   Ответ: $$ (3;2) $$

3. в)

   $$\begin{cases} 3x-4y=-1 \\ 5x+6y=11 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$3$$, второе — на $$2$$:
   $$\begin{cases} 9x-12y=-3 \\ 10x+12y=22 \end{cases}$$
   Складываем:
   $$19x=19,$$
   $$x=1.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$3\cdot 1-4y=-1,$$
   $$-4y=-4,$$
   $$y=1.$$

   Ответ: $$ (1;1) $$

4. г)

   $$\begin{cases} x+2y+3z=4 \\ 2x+3y-4z=7 \\ 3x-4y+5z=2 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$2$$ и вычтем его из второго:
   $$y+10z=1.$$
   Умножим первое уравнение на $$3$$ и вычтем его из третьего:
   $$10y+4z=10.$$
   Получаем систему:
   $$\begin{cases} y+10z=1 \\ 10y+4z=10 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$10$$:
   $$10y+100z=10.$$
   Вычтем второе:
   $$96z=0,$$
   $$z=0.$$
   Тогда
   $$y=1,$$
   $$x=4-2y-3z=4-2=2.$$

   Ответ: $$ (2;1;0) $$

5. д)

   $$\begin{cases} 3x+y-z=-1 \\ 2x-3y+2z=2 \\ -x+5y-3z=-3 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$2$$:
   $$6x+2y-2z=-2.$$
   Умножим второе уравнение на $$3$$:
   $$6x-9y+6z=6.$$
   Вычтем первое из второго:
   $$-11y+8z=8.$$
   Умножим первое уравнение на $$1$$ и третье на $$3$$:
   $$\begin{cases} 3x+y-z=-1 \\ -3x+15y-9z=-9 \end{cases}$$
   Складываем:
   $$16y-10z=-10.$$
   Решая полученную систему, получаем:
   $$y=0,\quad z=1.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$3x+0-1=-1,$$
   $$3x=0,$$
   $$x=0.$$

   Ответ: $$ (0;0;1) $$

6. е)

   $$\begin{cases} -3x+5y-2z=0 \\ 3x-2y+5z=6 \\ 4x+2y-5z=1 \end{cases}$$
   Сложим первое и второе уравнения:
   $$3y+3z=6,$$
   $$y+z=2.$$
   Умножим первое уравнение на $$2$$, второе на $$1$$:
   $$\begin{cases} -6x+10y-4z=0 \\ 3x-2y+5z=6 \end{cases}$$
   Умножим второе уравнение на $$2$$ и сложим с третьим:
   $$10x-9z=13.$$
   Подставляя $$y=1$$ и $$z=1$$, получаем $$x=1$$.

   Ответ: $$ (1;1;1) $$

7. ж)

   $$\begin{cases} x+y+z=1 \\ x-y-z=1 \\ -x+y+z=-1 \end{cases}$$
   Сложим первое и второе уравнения:
   $$2x=2,$$
   $$x=1.$$
   Тогда из первого:
   $$y+z=0,$$
   то есть
   $$y=-z.$$
   Значит, решений бесконечно много:
   $$x=1,\quad y=t,\quad z=-t,$$
   где $$t$$ — любое число.

   Ответ: $$ (1;t;-t),\ t\in\mathbb{R} $$

8. з)

   $$\begin{cases} x+y+z=6 \\ 2x-y+2z=6 \\ -x+3y-z=2 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$2$$ и вычтем второе:
   $$3y=6,$$
   $$y=2.$$
   Подставим в первое:
   $$x+z=4.$$
   Подставим в третье:
   $$-x+6-z=2,$$
   $$-x-z=-4,$$
   $$x+z=4.$$
   Значит, решений бесконечно много:
   $$x=t,\quad z=4-t,\quad y=2.$$

   Ответ: $$ (t;2;4-t),\ t\in\mathbb{R} $$

9. и)

   $$\begin{cases} -2x+7y-4z=1 \\ 4x-8y+5z=1 \\ 3x+2y-4z=1 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$2$$, второе на $$1$$ и сложим:
   $$-4x+14y-8z=2,$$
   $$4x-8y+5z=1,$$
   $$6y-3z=3,$$
   $$2y-z=1.$$
   Умножим первое уравнение на $$3$$, третье на $$2$$:
   $$-6x+21y-12z=3,$$
   $$6x+4y-8z=2,$$
   $$25y-20z=5.$$
   Решая систему, получаем:
   $$x=1,\quad y=1,\quad z=1.$$

   Ответ: $$ (1;1;1) $$

10. к)

    $$\begin{cases} 3x-2y+z=3 \\ x+3y+2z=3 \\ 2x+y+3z=2 \end{cases}$$
    Умножим второе уравнение на $$3$$, третье на $$1$$:
    $$\begin{cases} 3x-2y+z=3 \\ 3x+9y+6z=9 \\ 2x+y+3z=2 \end{cases}$$
    Вычтем первое уравнение из второго:
    $$11y+5z=6.$$
    Умножим первое уравнение на $$1$$, третье на $$3$$:
    $$\begin{cases} 3x-2y+z=3 \\ 6x+3y+9z=6 \end{cases}$$
    Вычтем первое уравнение, умноженное на $$2$$, из третьего:
    $$7y+7z=0,$$
    $$y+z=0.$$
    Тогда $$z=-y$$, и из $$11y+5z=6$$ получаем:
    $$11y-5y=6,$$
    $$6y=6,$$
    $$y=1,$$
    $$z=-1.$$
    Подставим в первое уравнение:
    $$3x-2\cdot 1-1=3,$$
    $$3x=6,$$
    $$x=2.$$

    Ответ: $$ (2;1;-1) $$