Упр.772 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

1. Старинная задача. Хозяин послал работника на базар купить $$20$$ птиц: гусей, уток и малых чирков. Он дал работнику $$16$$ алтын. Гусей велел покупать по $$3$$ копейки за штуку, уток — по копейке, а малых чирков — по $$2$$ на копейку. Сколько гусей, уток и чирков купил работник?

Пусть купили $$x$$ гусей, $$y$$ уток и $$z$$ чирков.

Так как $$1$$ алтын $$= 3$$ копейки, то:

гусь стоит $$1$$ алтын, утка — $$\frac{1}{3}$$ алтына, а чирок — $$\frac{1}{6}$$ алтына.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} x+y+z=20,\\ x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}z=16. \end{cases}$$

Умножим второе уравнение на $$6$$:

$$6x+2y+z=96.$$

Вычтем из него первое уравнение:

$$(6x+2y+z)-(x+y+z)=96-20,$$
$$5x+y=76.$$

Тогда

$$y=76-5x.$$

Подставим в первое уравнение:

$$z=20-x-y=20-x-(76-5x)=4x-56.$$

Так как $$x$$, $$y$$ и $$z$$ — натуральные числа, получаем:

$$y=76-5x>0,\qquad z=4x-56>0.$$

Отсюда $$x>14$$ и $$x<16$$, значит $$x=15$$.

Тогда

$$y=76-5\cdot 15=1,$$
$$z=20-15-1=4.$$

Ответ

$$15$$ гусей, $$1$$ утка и $$4$$ чирка.