Упр.771 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

1. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого.

   Купил некто на $$80$$ алтын гусей, уток и чирков. Гуся покупал по $$2$$ алтына, утку — по $$1$$ алтыну, чирка же — по $$3$$ деньги, а всех куплено $$80$$ птиц. Спрашивается, сколько каких птиц он купил.

   $$1\ \text{алтын}=3\ \text{к.},\quad 1\ \text{деньга}=0{,}5\ \text{к.}$$

Пусть купили $$x$$ гусей, $$y$$ уток и $$z$$ чирков.

Так как $$1$$ алтын $$= 3$$ к., а $$1$$ деньга $$= 0{,}5$$ к., то $$3$$ деньги $$= 1{,}5$$ к. $$= 0{,}5$$ алтына.

Составим систему:

$$\begin{cases} x+y+z=80,\\ 2x+y+0{,}5z=80. \end{cases}$$

Умножим второе уравнение на $$2$$:

$$\begin{cases} x+y+z=80,\\ 4x+2y+z=160. \end{cases}$$

Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на $$1$$:

$$(4x+2y+z)-(x+y+z)=160-80,$$
$$3x+y=80.$$

Тогда

$$y=80-3x.$$

Из условия $$y>0$$ получаем:

$$80-3x>0,\quad 3x<80,\quad x\le 26.$$

Так как $$x\ge 1$$, то $$1\le x\le 26$$.

Найдём $$z$$:

$$z=80-x-y=80-x-(80-3x)=2x.$$

Значит, при любом $$x$$ из промежутка $$1\le x\le 26$$ получаем решение:

$$x \text{ гусей},\quad 80-3x \text{ уток},\quad 2x \text{ чирков}.$$

Ответ

Задача имеет $$26$$ решений: $$x$$ гусей, $$80-3x$$ уток и $$2x$$ чирков, где $$1\le x\le 26$$.