Упр.769 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Задача

Задача Джан Цюцзяня (Китай, V в.). 1 петух стоит 5 цяней (денежных единиц), 1 курица стоит 3 цяня, 3 цыплёнка стоят 1 цянь. Всего на 100 цяней купили 100 птиц. Спрашивается, сколько было в отдельности петухов, кур, цыплят.

Подробный ответ

Пусть было $$x$$ петухов, $$y$$ кур и $$z$$ цыплят. Тогда по условию:

$$\begin{cases} x+y+z=100,\\ 5x+3y+\dfrac{z}{3}=100. \end{cases}$$

Умножим второе уравнение на $$3$$:

$$\begin{cases} x+y+z=100,\\ 15x+9y+z=300. \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $$z$$:

$$z=100-x-y.$$

Подставим в второе уравнение:

$$15x+9y+100-x-y=300$$
$$14x+8y=200$$
$$7x+4y=100.$$

Выразим $$y$$:

$$4y=100-7x,$$
$$y=25-\dfrac{7}{4}x.$$

Так как $$y$$ — целое число, то $$x$$ должно быть кратно $$4$$. Кроме того, $$y\ge 0$$, значит $$x\le 14$$. Получаем:

$$x=4,\ 8,\ 12.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$ и $$z$$:

$$x=4:\quad y=25-\dfrac{7\cdot 4}{4}=18,\quad z=100-4-18=78;$$
$$x=8:\quad y=25-\dfrac{7\cdot 8}{4}=11,\quad z=100-8-11=81;$$
$$x=12:\quad y=25-\dfrac{7\cdot 12}{4}=4,\quad z=100-12-4=84.$$