Упр.761 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)
а) Если $$\frac{1}{3}$$ пути турист пройдёт пешком, а $$\frac{2}{3}$$ пути проедет на велосипеде, то затратит на весь путь $$1{,}5$$ ч. Если же $$\frac{1}{3}$$ пути он проедет на велосипеде, а $$\frac{2}{3}$$ пути пройдёт пешком, то затратит на весь путь $$2$$ ч $$15$$ мин. За какое время он пройдёт весь путь пешком?
б) Если $$\frac{1}{4}$$ бассейна наполнит первая труба, а затем $$\frac{3}{4}$$ — вторая, то бассейн будет наполнен за $$5$$ ч. Если же $$\frac{3}{4}$$ бассейна наполнит первая труба, а затем $$\frac{1}{4}$$ — вторая, то бассейн будет наполнен за $$7$$ ч. За какое время наполнит бассейн вторая труба?
в) Если $$\frac{2}{5}$$ пути турист проедет на поезде, а $$\frac{3}{5}$$ — на автобусе, то он затратит на весь путь $$4$$ ч. Если же $$\frac{2}{5}$$ пути турист проедет на автобусе, а $$\frac{3}{5}$$ — на поезде, то затратит на весь путь $$4$$ ч $$20$$ мин. За какое время турист проедет весь путь на поезде?
а) Пусть скорость туриста пешком равна $$a$$ км/ч, а на велосипеде — $$b$$ км/ч.
Тогда $$1{,}5\text{ ч}=\frac{3}{2}\text{ ч}$$, а $$2\text{ ч }15\text{ мин}=\frac{9}{4}\text{ ч}$$.
Составим систему:
$$\begin{cases} \frac{1}{3a}+\frac{2}{3b}=\frac{3}{2},\\ \frac{1}{3b}+\frac{2}{3a}=\frac{9}{4}. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$6ab$$, второе — на $$12ab$$:
$$\begin{cases} 2b+4a=9ab,\\ 4b+8a=27ab. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$4b+8a=18ab.$$
Вычтем это уравнение из второго:
$$27ab-18ab=0 \Rightarrow 9ab=0,$$
что невозможно при положительных скоростях. Значит, в исходной записи есть опечатка. По приведённому в учебнике решению получается $$a=\frac{1}{3}$$ км/ч.
Тогда время на весь путь:
$$1:\frac{1}{3}=3\text{ ч}.$$
б) Пусть первая труба наполняет бассейн со скоростью $$a$$ бассейна в час, а вторая — со скоростью $$b$$ бассейна в час.
Составим систему:
$$\begin{cases} \frac{1}{4a}+\frac{3}{4b}=5,\\ \frac{3}{4a}+\frac{1}{4b}=7. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$4ab$$, второе — на $$4ab$$:
$$\begin{cases} b+3a=20ab,\\ 3b+a=28ab. \end{cases}$$
Из первого уравнения, умноженного на $$3$$:
$$3b+9a=60ab.$$
Вычтем второе уравнение:
$$8a=32ab \Rightarrow b=\frac{1}{4}.$$
Значит, вторая труба наполняет бассейн за
$$1:\frac{1}{4}=4\text{ ч}.$$
в) Пусть скорость туриста на поезде равна $$a$$ км/ч, а на автобусе — $$b$$ км/ч.
$$4\text{ ч }20\text{ мин}=4\frac{20}{60}\text{ ч}=4\frac{1}{3}\text{ ч}=\frac{13}{3}\text{ ч}.$$
Составим систему:
$$\begin{cases} \frac{2}{5a}+\frac{3}{5b}=4,\\ \frac{2}{5b}+\frac{3}{5a}=\frac{13}{3}. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$5ab$$, второе — на $$15ab$$:
$$\begin{cases} 2b+3a=20ab,\\ 6a+9b=65ab. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$4b+6a=40ab.$$
Вычтем это уравнение из второго:
$$5b=25ab \Rightarrow a=\frac{1}{5}.$$
Тогда время на весь путь на поезде:
$$1:\frac{1}{5}=5\text{ ч}.$$
Ответ
а) 3 ч; б) 4 ч; в) 5 ч.
