Упр.759 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

б) Старинная задача. Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 р.; сложившись без второго — 85 р.; сложившись без третьего — 80 р.; сложившись без четвёртого — 75 р. Сколько у кого денег?
в) Старинная задача. Отец имеет семь сыновей. Сумма лет первого и четвёртого сына равна 9 годам, первого и шестого — 8 годам, второго и пятого — 8 годам, второго и третьего — 9 годам, третьего и шестого — 6 годам, четвёртого и седьмого — 4 годам, а седьмого и пятого — также 4 годам. Сколько лет каждому?

а) Обозначим: Алёша — $$a$$ кг, Боря — $$b$$ кг, Вова — $$c$$ кг. Тогда

$$ \begin{cases} a+b=82,\\ a+c=83,\\ b+c=85. \end{cases} $$

Сложим все три уравнения:

$$ (a+b)+(a+c)+(b+c)=82+83+85=250. $$

Получаем:

$$ 2(a+b+c)=250, $$

значит

$$ a+b+c=125. $$

б) Пусть у купцов было $$a$$, $$b$$, $$c$$ и $$d$$ рублей. Тогда

$$ \begin{cases} b+c+d=90,\\ a+c+d=85,\\ a+b+d=80,\\ a+b+c=75. \end{cases} $$

Сложим все уравнения:

$$ 3(a+b+c+d)=90+85+80+75=330. $$

Отсюда

$$ a+b+c+d=110. $$

Тогда:

$$ a=110-90=20,\quad b=110-85=25,\quad c=110-80=30,\quad d=110-75=35. $$

в) Обозначим возраста сыновей через $$a,b,c,d,x,y,z$$. Тогда

$$ \begin{cases} a+d=9,\\ a+y=8,\\ b+x=8,\\ b+c=9,\\ c+y=6,\\ d+z=4,\\ x+z=4. \end{cases} $$

Из $$x+z=4$$ и $$d+z=4$$ получаем $$x=d$$. Тогда из $$b+x=8$$ имеем $$b=8-d$$, а из $$a+d=9$$ — $$a=9-d$$.

Из $$a+y=8$$:

$$ 9-d+y=8 \Rightarrow y=d-1. $$

Из $$c+y=6$$:

$$ c=6-y=6-(d-1)=7-d. $$

Теперь используем $$b+c=9$$:

$$ (8-d)+(7-d)=9, $$

$$ 15-2d=9, $$

$$ 2d=6,\quad d=3. $$

Тогда

$$ x=3,\quad a=6,\quad b=5,\quad y=2,\quad c=4,\quad z=1. $$

Ответ

а) $$125$$ кг.

б) Первый купец — $$20$$ руб., второй — $$25$$ руб., третий — $$30$$ руб., четвёртый — $$35$$ руб.

в) $$6$$ лет, $$5$$ лет, $$4$$ года, $$3$$ года, $$3$$ года, $$2$$ года и $$1$$ год.