Упр.733 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

а) система
x=1,
3x+2y-3z=2,
5x-y-5z=-1;
б) система
3y=12,
x+y+z=7,
x-2y+2z=-3;
в) система
x=2y,
3x-2y-z=1,
5x+4y-2z=8;
г) система
x+y=5,
3x-2y+z=6,
x-5y+3z=-4;
д) система
x+y+z=3,
2x-y+z=2,
3x-2y+z=2;
е) система
2x-y+3z=7,
x+2y-z=1,
3x-5y-4z=2;
ж) система
3x+2y-5z=17,
x+y-z=6,
x-y-z=0;
з) система
x+y+z=9,
x-y+z=3,
x+y-z=3.

1. а)

   $$x=1$$
   $$3x+2y-3z=2$$
   $$5x-y-5z=-1$$

   Подставим $$x=1$$ во второе и третье уравнения:
   $$3\cdot 1+2y-3z=2$$
   $$5\cdot 1-y-5z=-1$$

   Получаем:
   $$ 2y-3z=-1 $$
   $$ -y-5z=-6 $$

   Умножим второе уравнение на $$2$$ и сложим с первым:
   $$ \begin{aligned} 2y-3z&=-1\\ -2y-10z&=-12\\ \hline -13z&=-13 \end{aligned} $$
   Отсюда $$z=1$$.

   Тогда $$2y-3\cdot 1=-1$$, значит $$2y=2$$ и $$y=1$$.

   Итак, $$x=1$$, $$y=1$$, $$z=1$$.

2. б)

   $$3y=12$$
   $$x+y+z=7$$
   $$x-2y+2z=-3$$

   Из первого уравнения:
   $$y=4$$.

   Подставим $$y=4$$ во второе и третье уравнения:
   $$ x+z=3 $$
   $$ x+2z=5 $$

   Вычтем первое из второго:
   $$z=2$$.
   Тогда $$x+2=3$$, значит $$x=1$$.

3. в)

   $$x=2y$$
   $$3x-2y-z=1$$
   $$5x+4y-2z=8$$

   Подставим $$x=2y$$:
   $$ 6y-2y-z=1 $$
   $$ 10y+4y-2z=8 $$

   Получаем:
   $$ 4y-z=1 $$
   $$ 14y-2z=8 $$
   Разделим второе уравнение на $$2$$:
   $$ 7y-z=4 $$

   Вычтем первое уравнение из второго:
   $$3y=3,$$
   значит $$y=1$$.
   Тогда $$x=2y=2$$, а из $$4y-z=1$$ получаем $$z=3$$.

4. г)

   $$x+y=5$$
   $$3x-2y+z=6$$
   $$x-5y+3z=-4$$

   Из первого уравнения:
   $$x=5-y$$.

   Подставим во второе и третье:
   $$ 3(5-y)-2y+z=6 $$
   $$ (5-y)-5y+3z=-4 $$

   Получаем:
   $$ -5y+z=-9 $$
   $$ -6y+3z=-9 $$
   Разделим второе уравнение на $$-3$$:
   $$ 2y-z=3 $$

   Сложим два уравнения:
   $$-3y=-6,$$
   значит $$y=2$$.
   Тогда $$z=1$$, а $$x=3$$.

5. д)

   $$x+y+z=3$$
   $$2x-y+z=2$$
   $$3x-2y+z=2$$

   Умножим первое уравнение на $$2$$:
   $$2x+2y+2z=6$$

   Вычтем из него второе:
   $$ 3y+z=4 $$
   Вычтем из третьего первое:
   $$ 2x-3y= -1 $$
   Удобнее заметить, что из первых двух уравнений:
   $$ x+z=2 $$
   а из первого и третьего:
   $$ x-y=1 $$

   Тогда $$x=2-z$$, $$y=x-1=1-z$$. Подставим в первое уравнение:
   $$ (2-z)+(1-z)+z=3 $$
   $$ 3-z=3 $$
   $$z=0$$.

   Следовательно, $$x=2$$, $$y=1$$, $$z=0$$.

6. е)

   $$2x-y+3z=7$$
   $$x+2y-z=1$$
   $$3x-5y-4z=2$$

   Умножим второе уравнение на $$2$$ и вычтем его из первого:
   $$ 2x-y+3z-(2x+4y-2z)=7-2 $$
   $$ -5y+5z=5 $$
   $$-y+z=1,$$
   значит $$z=y+1$$.

   Подставим в второе уравнение:
   $$ x+2y-(y+1)=1 $$
   $$ x+y=2 $$
   значит $$x=2-y$$.

   Подставим $$x=2-y$$ и $$z=y+1$$ в третье уравнение:
   $$ 3(2-y)-5y-4(y+1)=2 $$
   $$ 6-3y-5y-4-4y=2 $$
   $$ 2-12y=2 $$
   $$y=0$$.

   Тогда $$x=2$$, $$z=1$$.

7. ж)

   $$3x+2y-5z=17$$
   $$x+y-z=6$$
   $$x-y-z=0$$

   Вычтем третье уравнение из второго:
   $$ 2y=6 $$
   значит $$y=3$$.

   Подставим в третье уравнение:
   $$ x-3-z=0 $$
   $$x-z=3$$

   Подставим $$y=3$$ в первое:
   $$ 3x+6-5z=17 $$
   $$ 3x-5z=11 $$
   Из $$x-z=3$$ получаем $$x=3+z$$. Тогда
   $$ 3(3+z)-5z=11 $$
   $$ 9-2z=11 $$
   $$z=-1$$.

   Следовательно, $$x=2$$, $$y=3$$, $$z=-1$$.

8. з)

   $$x+y+z=9$$
   $$x-y+z=3$$
   $$x+y-z=3$$

   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$ 2y=6 $$
   значит $$y=3$$.

   Подставим в первое и третье:
   $$ x+z=6 $$
   $$ x-z=0 $$
   Отсюда $$x=z$$, значит $$2x=6$$, то есть $$x=3$$ и $$z=3$$.

Ответ

а) $$\left(1;1;1\right)$$; б) $$\left(1;4;2\right)$$; в) $$\left(2;1;3\right)$$; г) $$\left(3;2;1\right)$$; д) $$\left(2;1;0\right)$$; е) $$\left(2;0;1\right)$$; ж) $$\left(2;3;-1\right)$$; з) $$\left(3;3;3\right)$$.