Упр.730 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

а) система
x-ay-3a=0,
2x+y+3=0;
б) система
14x-ay-2a=0,
2x+3y-2=0
имеет бесконечно много решений?

Чтобы система двух линейных уравнений имела бесконечно много решений, коэффициенты при неизвестных и свободные члены должны быть пропорциональны:

$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}.$$

а)

$$ \begin{cases} x-ay-3a=0,\\ 2x+y+3=0. \end{cases} $$

Запишем коэффициенты:

$$\frac{1}{2}=\frac{-a}{1}=\frac{-3a}{3}.$$

Из первых двух отношений получаем:

$$\frac{1}{2}=-a,$$

откуда

$$a=-\frac{1}{2}.$$

Проверка свободных членов:

$$\frac{-3a}{3}=-a=\frac{1}{2},$$

что совпадает с предыдущими отношениями. Значит, при $$a=-\frac{1}{2}$$ система имеет бесконечно много решений.

б)

$$ \begin{cases} 14x-ay-2a=0,\\ 2x+3y-2=0. \end{cases} $$

Для бесконечного числа решений должно быть:

$$\frac{14}{2}=\frac{-a}{3}=\frac{-2a}{-2}.$$

Тогда

$$7=-\frac{a}{3},$$

откуда

$$a=-21.$$

Проверим свободные члены:

$$\frac{-2a}{-2}=a=-21,$$

а также

$$-\frac{a}{3}=7.$$

Получаем противоречие, так как коэффициенты не пропорциональны одновременно всем трем отношениям. Следовательно, такого значения $$a$$ нет.

Ответ

а) $$a=-\frac{1}{2}$$; б) такого $$a$$ не существует.